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Son expresiones algebraicas que se forman a partir de la unión de dos o más variables y constantes, vinculadas a través de operaciones de multiplicación, resta o suma, reciben el nombre de polinomios. El adjetivo polinómico, por su parte, se aplica a la cantidad o las operaciones que se pueden expresar como polinomios. ¿Que son los polinomios? CURSO ONLINE EN YOUTUBE

Gracias a los polinomios, es posible desarrollar diferentes cálculos y acercarse a una función derivable. Numerosas ciencias utilizan los polinomios en sus estudios e investigaciones, desde la química y la física hasta la economía.

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POLINOMIOS.

En matemáticas, un polinomio (del latín polynomium, y este del griego, πολυς polys ‘muchos’ y νόμος nómos ‘regla’, ‘prescripción’, ‘distribución’)es una expresión algebraica. En ella intervienen varios números y letras, relacionados mediante sumas, multiplicaciones y/o potencias. Las variables se escriben con letras (como “x” o “y”) porque pueden asumir distintos valores, en tanto que a los números se les llama coeficientes. Cada uno de los términos (monomios) del polinomio tiene un exponente distinto. Se llama grado del polinomio al exponente mayor. Los exponentes tienen valores que pertenecen al conjunto N de los números naturales: 0, 1, 2…

Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.

En álgebra abstracta, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en teoría de números algebraicos y geometría algebraica.

Definición del polinomio

Un monomio es una expresión algebraica conformada por un coeficiente, una variable (generalmente x) y un exponente, por ejemplo:

5x^2

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de un número finito de monomios

 

P(x)= an xn + an–1 xn–1 +………+ a2 x2 + a1 x + a0

 

donde, n es un número natural y

Coeficientes: an , an–1 , …….., a2 , a1 , a0

Variable o indeterminada: x

Coeficiente principal: a_n

Término independiente: a_0

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Ejemplo

 

  • P(x) = 2x^3+ 3x^2 + 5x - 3

 

Coeficientes: 2, 3,5, -3

Variable o indeterminada: x

Coeficiente principal: 2

Término independiente: -3

Grado de un Polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x

Según su grado los polinomios pueden ser de:

 

TIPO EJEMPLO
Grado cero P(x) = -2
Primer grado P(x) = 3x + 2
Segundo grado P(x) = 2x^2+ 3x + 2
Tercer grado P(x) = x^3-2x^2+ 3x + 2
Cuarto grado P(x) = 5x^4 + x^3-2x^2+ 3x + 2
Quinto grado P(x) = 2x^5 -5x^4 + x^3- 2x^2+ 3x + 2

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Tipos de polinomios

 

  1. Polinomio nulo

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x) = 0x^2 + 0x + 0

 

2. Polinomio homogéneo
Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.

P(x) = 2x^2+ 3x^2

 

3. Polinomio heterogéneo

Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.

P(x) = 2x^3+ 3x^2- 3

 

4. Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x^3+ 3x^2 + 5x - 3

 

5. Polinomio incompleto

Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x^3+ 5x -3

 

6. Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x^3+ 5x - 3

 

7.  Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x^3+ 5x - 3

Q(x) = 5x - 3 + 2x^3

 

8. Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x^3+ 5x - 3

Q(x) = 3x^3+ 7x -2

 

9. Polinomio mónico

Un polinomio es mónico si su coeficiente principal es 1, por ejemplo

P(x)=x^4-5x^2+3

 

 

Monomio

Es un polinomio que consta de un sólo monomio.

P(x) = 2x^2

 

Binomio

Es un polinomio que consta de dos monomios.

P(x) = 2x^2+ 3x

 

Trinomio

Es un polinomio que consta de tres monomios.

P(x) = 2x^2+ 3x + 5

 

Valor numérico de un polinomio

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El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

Ejemplo:

Calcular el valor numérico del polinomio: P(x) = 2x^3+ 5x - 3, para los valores

    • x = -1

 

P(-1) = 2 \cdot (-1)^3+ 5 \cdot (-1)-3 = 2 \cdot (-1) - 5 - 3 = -2 - 5 - 3 = -10

 

    • x = 0

 

P(0) = 2 \cdot 0^3+ 5 \cdot 0 - 3 = -3

 

    • x = 1

 

P(1) = 2 \cdot 1^3+ 5 \cdot 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

 

Polinomio de varias variables

 

Un polinomio puede tener varias variables. En este caso, los monomios, de manera análoga, cuetan con un coeficiente y varias variables cada una con un respectivo exponente. Por ejemplo

4x^3yz

 

Ejemplos:

 

\text{Una variable} \hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} P(x)=x^4-x+3

\text{Dos variables} \hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} P(x,y)=2x^2y-3x^5+3

\text{Tres variables} \hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} P(x,y,z)= xz-3x^5y^2z^2+3z

 

También se puede obtener el valor numérico de estos

P(x,y)=2x^2y-3x^3+3

P(2,1)=2 (2)^2(1)-3(2)^3+3=8-24+3=-13

 

¿Son polinomios o no?

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Estos son polinomios:

  • 3x
  • x − 2
  • 3xyz + 3xy2z − 0.1xz − 200y + 0.5
  • 512v5 + 99w5
  • 5

(¡Sí, “5” es un polinomio ya que se permiten que sean de un solo término, y puede ser solo una constante!)

Y estos no son polinomios

  • 2/(x+2) no lo es, porque dividir no está permitido
  • 3xy-2 no lo es, porque un exponente es “−2” (los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,…)
  • 1/x tampoco lo es
  • √x no es, porque el exponente es “½” (mira exponentes fraccionarios)

Pero esto sí está permitido:

  • x/2 está permitido, porque puedes dividir por una constante.
  • también 3x/8 por la misma razón
  • √2 está permitida, porque es una constante (= 1.4142….etc.)

Monomios, binomios, trinomios

Hay nombres especiales para los polinomios con 1, 2 ó 3 términos:

monomio, binomio, trinomio

Ejemplos
mono bi tri

(También existen cuatrinomio (4 términos) y quintinomio (5 términos), pero se usan poco).

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