ECUACIÓN CUADRÁTICA | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS
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Las ecuaciones cuadráticas o ecuaciones de segundo grado son aquellas en donde el exponente del término desconocido está elevado al cuadrado, es decir, la incógnita está elevada al exponente 2. Tienen la forma general de un trinomio:
donde a, b y c son números reales y se conocen como coeficientes. Así, a es el coeficiente de x2, b es el término o coeficiente de x y c es el término independiente.
| Esto es una ecuación cuadrática: |
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| (a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.) |
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La letra “x” es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes (lee las Definiciones básicas de Álgebra) |
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Y el nombre cuadrática viene de “cuad” que quiere decir cuadrado, porque el exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x2). |
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:
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En esta a=2, b=5 y c=3 | |
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Aquí hay una un poco más complicada:
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¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x2 (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática) |
¿Qué tienen de especial?
Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática:
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El “±” quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones! |
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La parte azul (b2 – 4ac) se llama discriminante, porque sirve para “discriminar” (decidir) entre los tipos posibles de respuesta:
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Solución
Para resolverla, sólo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos.
Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0
Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b2-4ac) ] / 2a
Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1
Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(62-4×5×1) ] / 2×5
Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10
Respuesta: x = -0.2 and -1
(Comprobación:
5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0
5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 – 6 + 1 = 0)
Ecuaciones cuadráticas disfrazadas
Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una:
| Disfrazadas | Qué hacer | En forma estándar | a, b y c |
|---|---|---|---|
| x2 = 3x -1 | Mueve todos los términos a la izquierda | x2 – 3x + 1 = 0 | a=1, b=-3, c=1 |
| 2(x2 – 2x) = 5 | Desarrolla paréntesis | 2x2 – 4x – 5 = 0 | a=2, b=-4, c=-5 |
| x(x-1) = 3 | Desarrolla paréntesis | x2 – x – 3 = 0 | a=1, b=-1, c=-3 |
| 5 + 1/x – 1/x2 = 0 | Multiplica por x2 | 5x2 + x – 1 = 0 | a=5, b=1, c=-1 |
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