Propiedades de las raíces enésimas | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS

En esta página definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos sus propiedades. Después, aplicamos la teoría vista para simplificar expresiones algebraicas con raíces.

Nota 1: trabajamos con raíces de distintos órdenes (cuadrada, cúbica, cuarta, quinta, etc.).

Nota 2: sólo consideramos las raíces reales.

1. Introducción y definiciones

Escribir las raíces como potencias nos permite aplicar las propiedades de las potencias (las recordamos en el siguiente apartado). Esto es muy útil para calcular productos y cocientes de raíces e, incluso, potencias y raíces de raíces.

A continuación, recordamos los conceptos y propiedades que necesitamos.

Raíz de orden $n$ :

Sea $n$

un natural positivo (es decir, 1, 2, 3, …), entonces

La raíz de orden $n$

(o raíz

n

-ésima) del número

a

es el número

b

que cumple

b^{n} = a

Es decir,

b^{n} = a

\sqrt[n^]{a} = b \Leftrightarrow {b^}^{n} = a

b^{n} = a

El número $n$ es el orden de la raíz y el número $a$ es su radicando. El número $b$ es la raíz n-ésima de $a$ .

Importante:

Si el orden de la raíz, $n$ , es par, su radicando tiene que ser mayor o igual que 0. Además, si el radicando es mayor que 0, hay dos raíces: una positiva y una negativa. $n$

Por ejemplo, las raíces cuadradas de 4 son 2 y -2:

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Si el orden de la raíz, $n$ , es impar, su radicando puede ser negativo. Además, en este caso ( $n$ impar), sólo hay una raíz. $n$

Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2 y la de -8 es -2:

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Raíz escrita como potencia:

Podemos escribir la raíz $\sqrt[n]{a}$

como la potencia con base

a

y exponente

1 / n

1 / n

$\sqrt[n^]{a} = {a^}^{\frac{1/}{n}}$

2. Propiedades de las potencias

Recordamos las propiedades básicas de las potencias.

Ver propiedades

Producto $Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.$	Potencia $Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.$
Cociente $Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.$	Exponente negativo $Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.$
Inverso $Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.$	Inverso $Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.$

3. Propiedades de las raíces

Si escribimos las raíces como potencias, obtenemos las siguientes propiedades:

Producto de raíces:

$Definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos las propiedades de las raíces (producto de raíces, cociente de raíces, potencia de una raíz...). Resolvemos ejercicios y problemas de calcular y simplificar expresiones algebraicas con raíces. Matemáticas. Secundaria, ESO. Bachillerato. Cálculo.$

El producto de raíces (del mismo orden) es la raíz del producto de sus radicandos.

Cociente de raíces:

El cociente de raíces (del mismo orden) es la raíz del cociente de sus radicandos.

Potencia de una raíz:

Podemos introducir el exponente de una raíz como el exponente del radicando.

Raíz de una raíz:

La raíz de orden $m$ de la raíz de orden $n$ es la raíz de orden $m \cdot n$ . $m \cdot n$

Nota: en el Ejercicio 5 tenemos otras dos propiedades.

4. Ejercicios resueltos

Nota previa: cuando haya dos raíces, escribiremos sólo la positiva.

En todos los ejercicios se tiene que simplificar el resultado.

Ejercicio 1

Calcular los siguientes productos de raíces cúbicas y quintas:

Solución

Aplicamos la propiedad del producto de raíces.

Primer producto:

Observen que la raíz se cancela porque el radicando es una potencia con exponente 3 y el orden de la raíz es 3.

Segundo producto:

La raíz se cancela por la misma razón que en producto anterior.

Ejercicio 2

Calcular los siguientes cocientes de raíces cuadradas y cúbicas:

Solución

Aplicamos la propiedad del cociente de raíces.

Primera división:

Segunda división:

Ejercicio 3

Calcular el siguiente cociente de raíces cuadradas y cúbicas:

Solución

Observen que no todas las raíces tienen el mismo orden.

Como tenemos un producto de raíces y el producto conmuta, podemos cambiar el orden:

Así, podemos multiplicar las dos raíces de la izquierda y las dos de la derecha porque tienen el mismo orden:

Ejercicio 4

¿La suma de raíces de orden $n$ es la raíz de orden $n$ de la suma de sus radicandos? $n$

Solución

La propiedad no es cierta. Veamos un contraejemplo:

Sin embargo,

Ejercicio 5

Demostrar las siguientes propiedades:

Propiedad 1:

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Propiedad 2:

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Solución

Vamos a operar en el lado izquierdo hasta transformarlo en la expresión del lado derecho.

Propiedad 1:

Escribimos la raíz como una potencia:

Multiplicamos los exponentes (potencia de potencia):

Hacemos el paso inverso:

Escribimos la potencia como una raíz:

Propiedad 2:

Escribimos las raíces como potencias:

Multiplicamos los exponentes:

Ahora, deshacemos el cambio:

En adelante, lo que haremos es escribir las raíces como potencias con exponente fraccionario para aplicar las propiedades de las potencias.

Ejercicio 6

Calcular la siguiente potencia:

Solución

Tenemos una raíz cuadrada escrita en forma de potencia:

Sabemos que la raíz cuadrada de 9 es 3, pero podemos escribir 9 como $3^{2}$ para dejar claro en la raíz cuadrada de un cuadrado se pueden eliminar la raíz y el exponente:

Ejercicio 7

Escribir la potencia como una raíz:

Solución

Recuerden la propiedad:

Como el denominador del exponente es 4, es una raíz de orden cuarto (raíz cuarta):

No podemos simplificar más la raíz.

Ejercicio 8

Escribir la siguiente potencia como una raíz:

Solución

Escribimos la raíz cuadrada como una potencia (con exponente 1/2):

Como tenemos un potencia de una potencia, multiplicamos los exponentes:

Escribimos la potencia como una raíz:

Como la raíz es cuarta, podemos extraer un 5 por cada $5^{4}$ del radicando:

Ejercicio 9

Simplificar:

Solución

Aplicamos la propiedad del producto de raíces del mismo orden:

Aplicamos la propiedad del cociente de raíces del mismo orden:

Simplificamos la fracción:

Simplificamos más:

La potencia de un cociente es el cociente de sus potencias:

Podemos dejar el resultado así, pero a los matemáticos no nos gustan las raíces en los denominadores. Para evitar esto, multiplicamos y dividimos por la raíz del denominador:

Ejercicio 10

Escribir como una raíz:

Solución

Escribimos la raíz de orden doce como una potencia y simplificamos el exponente:

Observen que hemos pasado de una raíz de orden 12 a una de orden 4. Escribimos el radicando, 49, como una potencia. Es decir, cambiamos 49 por $7^{2}$ . Así, podemos aplicar la propiedad de la potencia de una potencia:

Ejercicio 11

Calcular:

Solución

Tenemos raíces cuadradas anidadas. Vamos a escribir todas ellas como potencias con exponente 1/2. Después, podemos multiplicar los exponentes (potencia de una potencia):

Ejercicio 12

Escribir en forma de raíz:

Solución

Escribimos 72 como un producto de potencias para aplicar la propiedad de la potencia de un producto:

Escribimos la potencia fraccionaria como una raíz cúbica para extraer algún factor:

Observen que, como tenemos una raíz cúbica, podemos extraer un 3 por cada $3^{3}$ del radicando (sólo había uno).

Ejercicio 13

Escribir como una raíz:

Solución

Escribimos la raíz cúbica como una potencia con exponente $1 / 3$ y la raíz cuadrada como una potencia con exponente $1 / 2$ : $1 / 2$

Escribimos el radicando, 4, como un potencia, $2^{2}$ :

Ejercicio 14

Calcular:

Solución

Transformamos las raíces cuadradas en potencias y escribimos el número 4 como $2^{2}$ y el número 16 como $2^{4}$ . Después, aplicamos las propiedades de las potencias:

Ejercicio 15

Simplificar:

Solución

Escribimos 9 como la potencia $3^{2}$ y las raíces cúbica y cuadrada como potencias con exponentes $1 / 3$ y $1 / 2$ :

Como tenemos potencias de potencias, sólo tenemos que multiplicar los exponentes:

Simplificamos y escribimos como raíz:

Hemos escrito el resultado como una raíz para extraer un factor de la raíz:

Si queremos, podemos seguir operando hasta llegar al resultado

Ejercicio 16

Calcular:

Solución

Recordemos que la potencia -1 de una fracción es la fracción inversa (cambiar denominador por numerador):

El producto de fracciones se calcula multiplicando entre sí los númeradores y los denominadores:

Simplificamos la fracción del radicando:

Eliminamos la raíz del denominador multiplicando y dividiendo por la raíz de 2:

Ejercicio 17

Calcular:

Solución

Sólo tenemos que escribir las raíces como potencias para multiplicar los exponentes (potencia de potencia):

Simplificamos el exponente:

Ejercicio 18

Escribir en forma de raíz:

Solución

No es un problema que el radicando sea negativo porque la raíz es de orden impar.

Escribimos la raíz cúbica como una potencia:

Multiplicamos los exponentes:

Podemos eliminar el signo negativo porque $(- 5)^{2} = 5^{2}$ :

Ejercicio 19

Calcular:

Solución

Escribimos las cinco raíces como potencias:

Multiplicamos exponentes:

El cociente de potencias es 1 porque el numerador y el denominador son iguales:

Ejercicio 20

Simplificar:

Solución

Podemos extraer 4 como factor común:

El 4 sale fuera de la raíz cuadrada como 2 porque es $2^{2}$ :

El radicando es el desarrollo del cuadrado de un binomio:

Finalmente, el cuadrado se cancela con la raíz cuadrada:

Nota: en realidad, deberíamos escribir valor absoluto al cancelar el cuadrado con la raíz porque el binomio podría tomar valores negativos:

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