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Propiedades de las raíces enésimas | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS

porCIENCIA PARA TODOS.ORG

Oct 20, 2021
Propiedades de las raíces enésimas

Propiedades de las raíces enésimas | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS

Propiedades de las raíces enésimas | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS

En esta página definimos las raíces como potencias cuyos exponentes son fracciones y proporcionamos sus propiedades. Después, aplicamos la teoría vista para simplificar expresiones algebraicas con raíces.

Nota 1: trabajamos con raíces de distintos órdenes (cuadrada, cúbica, cuarta, quinta, etc.).

Nota 2: sólo consideramos las raíces reales.

1. Introducción y definiciones

Escribir las raíces como potencias nos permite aplicar las propiedades de las potencias (las recordamos en el siguiente apartado). Esto es muy útil para calcular productos y cocientes de raíces e, incluso, potencias y raíces de raíces.

A continuación, recordamos los conceptos y propiedades que necesitamos.

Raíz de orden :

Sea

un natural positivo (es decir, 1, 2, 3, …), entonces

La raíz de orden

(o raíz -ésima) del número es el número que cumple .
 
Es decir,

El número es el orden de la raíz y el número es su radicando. El número es la raíz n-ésima de .

Importante:

  • Si el orden de la raíz, , es par, su radicando tiene que ser mayor o igual que 0. Además, si el radicando es mayor que 0, hay dos raíces: una positiva y una negativa.

    Por ejemplo, las raíces cuadradas de 4 son 2 y -2:

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  • Si el orden de la raíz, , es impar, su radicando puede ser negativo. Además, en este caso (impar), sólo hay una raíz.

    Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2 y la de -8 es -2:

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Raíz escrita como potencia:

Podemos escribir la raíz

como la potencia con base y exponente :

2. Propiedades de las potencias

Recordamos las propiedades básicas de las potencias.

Ver propiedades

Producto

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Potencia

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Cociente

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Exponente negativo

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Inverso

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Inverso

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3. Propiedades de las raíces

Si escribimos las raíces como potencias, obtenemos las siguientes propiedades:

Producto de raíces:

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El producto de raíces (del mismo orden) es la raíz del producto de sus radicandos.

Cociente de raíces:

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El cociente de raíces (del mismo orden) es la raíz del cociente de sus radicandos.

Potencia de una raíz:

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Podemos introducir el exponente de una raíz como el exponente del radicando.

Raíz de una raíz:

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La raíz de orden de la raíz de orden es la raíz de orden .

Nota: en el Ejercicio 5 tenemos otras dos propiedades.

4. Ejercicios resueltos

Nota previa: cuando haya dos raíces, escribiremos sólo la positiva.

En todos los ejercicios se tiene que simplificar el resultado.

Ejercicio 1

Calcular los siguientes productos de raíces cúbicas y quintas:

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Solución

Aplicamos la propiedad del producto de raíces.

Primer producto:

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Observen que la raíz se cancela porque el radicando es una potencia con exponente 3 y el orden de la raíz es 3.

Segundo producto:

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La raíz se cancela por la misma razón que en producto anterior.


Ejercicio 2

Calcular los siguientes cocientes de raíces cuadradas y cúbicas:

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Solución

Aplicamos la propiedad del cociente de raíces.

Primera división:

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Segunda división:

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Ejercicio 3

Calcular el siguiente cociente de raíces cuadradas y cúbicas:

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Solución

Observen que no todas las raíces tienen el mismo orden.

Como tenemos un producto de raíces y el producto conmuta, podemos cambiar el orden:

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Así, podemos multiplicar las dos raíces de la izquierda y las dos de la derecha porque tienen el mismo orden:

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Ejercicio 4

¿La suma de raíces de orden es la raíz de orden de la suma de sus radicandos?

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Solución

La propiedad no es cierta. Veamos un contraejemplo:

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Sin embargo,

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Ejercicio 5

Demostrar las siguientes propiedades:

  • Propiedad 1:

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  • Propiedad 2:

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Solución

Vamos a operar en el lado izquierdo hasta transformarlo en la expresión del lado derecho.

Propiedad 1:

Escribimos la raíz como una potencia:

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Multiplicamos los exponentes (potencia de potencia):

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Hacemos el paso inverso:

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Escribimos la potencia como una raíz:

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Propiedad 2:

Escribimos las raíces como potencias:

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Multiplicamos los exponentes:

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Ahora, deshacemos el cambio:

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En adelante, lo que haremos es escribir las raíces como potencias con exponente fraccionario para aplicar las propiedades de las potencias.

Ejercicio 6

Calcular la siguiente potencia:

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Solución

Tenemos una raíz cuadrada escrita en forma de potencia:

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Sabemos que la raíz cuadrada de 9 es 3, pero podemos escribir 9 como para dejar claro en la raíz cuadrada de un cuadrado se pueden eliminar la raíz y el exponente:

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Ejercicio 7

Escribir la potencia como una raíz:

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Solución

Recuerden la propiedad:

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Como el denominador del exponente es 4, es una raíz de orden cuarto (raíz cuarta):

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No podemos simplificar más la raíz.


Ejercicio 8

Escribir la siguiente potencia como una raíz:

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Solución

Escribimos la raíz cuadrada como una potencia (con exponente 1/2):

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Como tenemos un potencia de una potencia, multiplicamos los exponentes:

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Escribimos la potencia como una raíz:

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Como la raíz es cuarta, podemos extraer un 5 por cada del radicando:

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Ejercicio 9

Simplificar:

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Solución

Aplicamos la propiedad del producto de raíces del mismo orden:

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Aplicamos la propiedad del cociente de raíces del mismo orden:

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Simplificamos la fracción:

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Simplificamos más:

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La potencia de un cociente es el cociente de sus potencias:

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Podemos dejar el resultado así, pero a los matemáticos no nos gustan las raíces en los denominadores. Para evitar esto, multiplicamos y dividimos por la raíz del denominador:

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Ejercicio 10

Escribir como una raíz:

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Solución

Escribimos la raíz de orden doce como una potencia y simplificamos el exponente:

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Observen que hemos pasado de una raíz de orden 12 a una de orden 4. Escribimos el radicando, 49, como una potencia. Es decir, cambiamos 49 por . Así, podemos aplicar la propiedad de la potencia de una potencia:

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Ejercicio 11

Calcular:

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Solución

Tenemos raíces cuadradas anidadas. Vamos a escribir todas ellas como potencias con exponente 1/2. Después, podemos multiplicar los exponentes (potencia de una potencia):

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Ejercicio 12

Escribir en forma de raíz:

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Solución

Escribimos 72 como un producto de potencias para aplicar la propiedad de la potencia de un producto:

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Escribimos la potencia fraccionaria como una raíz cúbica para extraer algún factor:

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Observen que, como tenemos una raíz cúbica, podemos extraer un 3 por cada del radicando (sólo había uno).


Ejercicio 13

Escribir como una raíz:

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Solución

Escribimos la raíz cúbica como una potencia con exponente y la raíz cuadrada como una potencia con exponente :

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Escribimos el radicando, 4, como un potencia, :

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Ejercicio 14

Calcular:

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Solución

Transformamos las raíces cuadradas en potencias y escribimos el número 4 como y el número 16 como . Después, aplicamos las propiedades de las potencias:

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Ejercicio 15

Simplificar:

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Solución

Escribimos 9 como la potencia y las raíces cúbica y cuadrada como potencias con exponentes y :

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Como tenemos potencias de potencias, sólo tenemos que multiplicar los exponentes:

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Simplificamos y escribimos como raíz:

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Hemos escrito el resultado como una raíz para extraer un factor de la raíz:

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Si queremos, podemos seguir operando hasta llegar al resultado

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Ejercicio 16

Calcular:

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Solución

Recordemos que la potencia -1 de una fracción es la fracción inversa (cambiar denominador por numerador):

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El producto de fracciones se calcula multiplicando entre sí los númeradores y los denominadores:

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Simplificamos la fracción del radicando:

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Eliminamos la raíz del denominador multiplicando y dividiendo por la raíz de 2:

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Ejercicio 17

Calcular:

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Solución

Sólo tenemos que escribir las raíces como potencias para multiplicar los exponentes (potencia de potencia):

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Simplificamos el exponente:

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Ejercicio 18

Escribir en forma de raíz:

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Solución

No es un problema que el radicando sea negativo porque la raíz es de orden impar.

Escribimos la raíz cúbica como una potencia:

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Multiplicamos los exponentes:

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Podemos eliminar el signo negativo porque :

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Ejercicio 19

Calcular:

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Solución

Escribimos las cinco raíces como potencias:

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Multiplicamos exponentes:

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El cociente de potencias es 1 porque el numerador y el denominador son iguales:

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Ejercicio 20

Simplificar:

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Solución

Podemos extraer 4 como factor común:

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El 4 sale fuera de la raíz cuadrada como 2 porque es :

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El radicando es el desarrollo del cuadrado de un binomio:

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Finalmente, el cuadrado se cancela con la raíz cuadrada:

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Nota: en realidad, deberíamos escribir valor absoluto al cancelar el cuadrado con la raíz porque el binomio podría tomar valores negativos:

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