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Ecuaciones lineales de orden superior | Curso de Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones lineales de orden superior | Curso de Ecuaciones diferenciales.

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Ecuaciones Diferenciales homogéneas.

Ecuación diferencial homogénea. Una ecuación g(x,y) es homogénea de grado n en sus variables independientes, si se satisface la igualdad. Ecuaciones lineales de orden superior | Curso de Ecuaciones diferenciales.

g(rx,ry) = rng(x,y), siendo n un número entero no negativo.
Por ejemplo h(x,y) =x2y +3xy2– y3 es una función homogénea de tercer grado puesto que
h(rx,ry) = (rx)2ry+3rx(ry)2– (ry)3 = r3(x2y +3xy2– y3) = r3h(x,y).

Ecuación de grado cero

En el caso de n= 0, se tiene una ecuación de grado cero. Por ejemplo:

g(x,y)=2x3– x2y/ 3x3 + 2x2y es una función homogénea de grado cero; ya que se verifica que
g(rx, ry) = 2(xr)3– (rx)2ry/ 3(rx)3 + 2(rx)2ry =
=r3(2x3– x2y)/r3(3x3 + 2x2y) =
= 2x3– x2y/ 3x3 + 2x2y= g(x,y).

Ecuación diferencial ordinaria homogénea

Una ecuación diferencial ordinaria de la forma dy/dx = g(x,y) se denomina homogénea si g(x,y) es una función homogénea de grado cero.en sus dos variables independientes. La ecuación diferencial se puede expresar en la forma dy/dx = h(yx-1) (1).

Introduciendo una nueva función desconocidad w= yx-1, la ecuación (1) se asimila a la ecuación ordinaria con variables separables:

xdw/dx = h(w) -w.

Siempre que la ecuación diferencial venga indicada en la forma

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0,
será homogénea cuando M(x,y) y N(x,y) sean funciones homogéneas del mismo grado.

Ejemplo

Resolver la ecuación

xdy/dx = (4x2 – 4y2)0.5 + y.

Resolución. Dividiendo entre x resulta

dy/dx= 2(1-(y/x)2)0.5+(y/x)

dado que la ecuación diferencial es homogénea , efectuamos la sustitución w = y/x o de otra manera, y = wx. En ese caso derivando resulta y´ = xw´+w. Reemplazando y e hallamos:

  • x dw/dx = 2(1-w2)0.5 siendo x > 0. Separando las variables:
  •  dw/(1-w2)0.5 = 2dx/x. De donde integrando resulta
  • arc sen w = ln x2 + ln C0 o bien arcsen w = ln C0x2. Usando la relación y = wx resulta
  • arcsen y/x = ln C x
 

Ecuaciones Diferenciales no homogéneas: el método de los coeficientes indeterminados y de variación de parámetros.

Una ecuación diferencial no lineal puede identificarse por no poder presentarse en la
forma .

A continuación, se encuentran ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales:

a) 𝑦′′ + 𝑔(𝑥)𝑦𝑦 + ℎ(𝑥)𝑦 = 𝑟(𝑥)

b) 𝑦′′ + 𝑔(𝑥)𝑦𝑦 + ℎ(𝑥)𝑦 = 0

c) 𝑦𝑦′′ + 𝑔(𝑥)𝑦 + (𝑥)𝑦 = 𝑟(𝑥)

d) 𝑦′′ + 𝑔(𝑥)𝑦 + ℎ(𝑥)𝑦 = 𝑟(𝑥)𝑦

Se le conoce como solución de una ecuación diferencial (independientemente de que
sea lineal o no lineal) a la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) si se encuentra definida y es derivable 𝑛
cantidad de veces en un intervalo, tal que al ser sustituida en la ecuación con todo y sus
derivadas sea obtenida una identidad (Carmona & Filio, 2011). Para ejemplificar lo
anterior, se presenta lo siguiente:

 
Se tiene la ecuación diferencial
𝑦′′ 𝑦 = 0

de la cual son soluciones para toda x las siguientes funciones

1) 𝑦 = 𝑒𝑥

2) 𝑦 = 𝑒𝑥
 
Derivando 𝑦 = 𝑒𝑥 para obtener 𝑦′′ y poder sustituir en la ecuación original.
1) 𝑦 = 𝑒𝑥

2) 𝑦 = 𝑒𝑥

3) 𝑦′′ = 𝑒𝑥

Si se sustituye se observa que se cumple la igualdad y que efectivamente es solución de
la ecuación
.
𝑦′′ 𝑦 = 0

𝑒𝑥 𝑒𝑥 = 0
 

El siguiente método es denominado el método de coeficientes indeterminados, el cual consiste cuando tenemos una ecuación diferencial de la siguiente forma.

 
 
Para este tipo de ecuaciones diferenciales se propone una solución “y” dada por
 
y = yp + yc
 
Nota: La primera parte de la solución de la ecuación diferencial la podemos determinar  por la ecuación auxiliar dad por el exponencial elevado a r por “x” como lo vimos en la sección anterior.
 
 
 
Cabe resaltar que de esta forma obtenemos la primera parte de la solución a la ecuación diferencial, mientras que “yc” se determinara descomponiendo f(x) a su forma dada por L[f(x)], para esto proporcionamos una tabla en donde se muestran las formas en las que puede ser descompuesta la función f(x) dependiendo de su forma.
 
 
 
Una vez que encuentres la forma que corresponde a la función procedes a encontrar los valores de las constantes y se obtiene la segunda parte de la solución dada por “yc.
 

El método de variación de parámetros sirve para resolver ecuaciones diferenciales lineales de la forma:

La solución de la ecuación diferencial es

Está formada por la solución complementaria que se calcula aplicando el método de coeficientes constantes a la ecuación homogénea asociada.

Y la solución particular que se calcula usando las funciones auxiliares 

En donde W es el Wronskiano de x y y definido por el siguiente determinante:

El método consiste en:

  • Hallar la solución complementaria usando la educación homogénea asociada y el método de coeficientes constantes
  • Hallar el Wronskiano
  • Hallar las funciones auxiliares y la solución particular

Ejemplo

Encontrar la solución de la ecuación diferencial

Encontrar la solución complementaria

La ecuación diferencial homogénea asociada es:

La ecuación algebraica asociada es:

La solución complementaria es:

Encontrar el Wronskiano

Encontrar las funciones auxiliares y la solución particular

 

Ecuaciones de Euler.

Ecuaciones de Euler.

 
 
Ecuaciones de Euler.


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