LA PARÁBOLA | MATEMÁTICAS

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PREGUNTAS FRECUENTES SOBRE LA PARÁBOLA

1.¿Que es la parábola?

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

2.¿Qué es la parábola y sus partes?

La Parábola es una curva abierta formada por dos líneas simétricas respecto de un eje y en que todos sus puntos están a la misma distancia del foco (punto fijo) y de la directriz (recta perpendicular al eje).

3.¿Cuáles son las formulas de la parábola?

4.¿Cuáles son los 4 tipos de parábolas?

 

 

 

 

Partes de la parábola y tipos de parábolas

1.Vértice.

2.Foco

3.Distancia focal

4.Lado recto

5.Directriz

6.horizontal que abre hacia la derecha.

7.horizontal que abre hacia la izquierda.

8.vertical que abre hacia arriba.

Parábola como lugar geométrico.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. El concepto geométrico de parábola es más amplio, como veremos a continuación.

El siguiente gráfico muestra una «parábola acostada»:

Existen también las parábolas rotadas. Por ejemplo si nosotros graficáramos en algún programa de computadora el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación $x^2+2xy+y^2+2x–2y=0$, obtendríamos la siguiente gráfica:

Para reconocer que esa gráfica efectivamente responde a la definición, características y expresión analítica de una parábola, debemos usar autovalores y autovectores.

Definición de parábola

Simbólicamente:

$$P=\left\{P\left(x,y\right)|d\left(P,r\right)=d\left(P,F\right)\right\}$$

Observen que estamos definiendo la parábola como un conjunto de puntos que verifican cierta propiedad geométrica, no como la gráfica de una función cuadrática (que es como ustedes la conocían hasta ahora).

En el eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Es el eje de simetría de la parábola.

El punto de la parábola que pertenece al eje focal se llama vértice.

Para el esquema que realizamos, las coordenadas del vértice son $V\left(0,0\right)$, las del foco $F\left(c,0\right)$ y la recta directriz está dada por $r:x=–c$. Las coordenadas de un punto genérico $Q$ que pertenece a la directriz son $\left(–c,y\right)$.

Ahora con estos datos vamos a deducir la ecuación. Por definición: $$d\left(P,r\right)=d\left(P,F\right)$$

1.Distancia entre un punto P y la directriz:

2.Distancia entre un punto P y el foco:

3.Las igualamos según lo establece la definición:

Donde los vectores y sus módulos son:

$$\overrightarrow{PQ}=\left(–c–x,0\right)$$

$$\overrightarrow{PF}=\left(c–x,–y\right)$$

Ahora sustituyendo y operando llegamos a:

$$\sqrt{c^2+2cx+x^2}=\sqrt{c^2–2cx+x^2+y^2}$$

$$c^2+2cx+x^2=c^2–2cx+x^2+y^2$$

Que es la ecuación canónica de la parábola con $V\left(0,0\right)$y eje focal $y=0$ (eje $x$).

Donde si, $c>0\Rightarrow$

Las ramas de la parábola apuntan hacia la derecha $c<0\Rightarrow$

Las ramas de la parábola apuntan hacia la izquierda. Análogamente a lo desarrollado para una parábola con eje focal horizontal, se puede hacer la deducción para las parábolas con eje focal vertical. Si permutamos variables sobre la expresión canónica tenemos la expresión canónica de la parábola vertical:

Ecuación canónica de la parábola con $V\left(0,0\right)$y eje focal $x=0$ (eje $y$).

Donde si,

$c>0\Rightarrow$

Las ramas de la parábola apuntan hacia la arriba

$c<0\Rightarrow$

Las ramas de la parábola apuntan hacia la abajo

Coordenadas del foco: $F\left(0,c\right)$

Ecuación de la directriz $d:y=–c$

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Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en el origen y el eje focal coincide con alguno de los ejes coordenados.

Ecuación ordinaria de la parábola

Consideremos una parábola cuyo vértice $V\left(\alpha ,\beta \right)$no coincide con el origen del sistema $xy$:

¿Cómo sería la ecuación de la parábola en el sistema de referencia $xy$?

No sabemos responder esto por el momento. Pero si armamos un nuevo sistema cuyo centro coincida con $V$, la ecuación canónica en este nuevo sistema sería: $$y^{\prime 2}=4c{x}^{\prime .}$$

Debemos realizar una traslación de ejes para poder tener la ecuación escrita en el sistema $xy$

¿Qué coordenadas tiene el punto $P$respecto de cada sistema?

El punto es el mismo pero estamos modificando el sistema de referencia:

1.Coordenadas de P en sistema $x^{\prime }{y}^{\prime }$

2.Coordenadas de P en sistema $xy$

La relación entre los dos sistemas de coordenadas es la siguiente:

$$x^{\prime }+\alpha =\mathrm{x \; ;}$$$$y^{\prime }+\beta =y$$

O reordenando:

$$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x–\alpha \\ y^{\prime }=y–\beta \end{array}$$

Éstas son las ecuaciones de traslación de ejes.

Si reemplazamos las ecuaciones de traslación en la expresión $y^{‘2}=4c{x}^{\prime }$

obtenemos la ecuación en el sistema original: $${\left(y–\beta \right)}^2=4c\left(x–\alpha \right)$$

La ecuación ordinaria de la parábola con vértice $V\left(\alpha ,\beta \right)$y eje focal paralelo al eje $x$.

Análogamente: $${\left(x–\alpha \right)}^2=4c\left(y–\beta \right)$$

Es la ecuación de la parábola con vértice $V\left(\alpha ,\beta \right)$y eje focal paralelo al eje $y$.

¿Cómo nos damos cuenta si el eje focal es vertical u horizontal? Observando cuál de las variables está elevada al cuadrado:

-Si $y$está al cuadrado, entonces es horizontal.

-Si $x$está al cuadrado, entonces es vertical.

De ecuación ordinaria a ecuación general

Partimos de la ecuación ordinaria:

$${\left(y–\beta \right)}^2=4c\left(x–\alpha \right)$$

Desarrollamos cuadrado de binomio:

$$y^2–2\beta y+{\beta }^2=4cx–4c\mathrm{\alpha \; ;}$$$$y^2–4cx–2\beta y+{\beta }^2+4c\alpha =0$$

Renombramos los coeficientes de la ecuación así:

Ésta es la ecuación general. Observen que hay una única variable que está al cuadrado y la otra es lineal.

Les proponemos las siguientes preguntas:

Si $E=0$, ¿dónde está ubicado el vértice?

¿Cuál es la ecuación general de una parábola de eje vertical?

Ejemplo

Analizar qué lugar geométrico representa la siguiente ecuación:

$$y^2+4x–2y+2=0$$

¿Qué curva representan los puntos que verifican esta ecuación?

Observando que una sola de las variables está elevada al cuadrado, podemos pensar en una parábola. Deberíamos llegar al siguiente modelo:

$${\left(y–\beta \right)}^2=4c\left(x–\alpha \right)$$

Primero hay que completar cuadrados en y

$$y^2–2y+1^2–1^2={\left(y–1\right)}^2–1$$

Entonces

$${\left(y–1\right)}^2–1+4x+2=0$$

$${\left(y–1\right)}^2=–4x–1$$

$${\left(y–1\right)}^2=–4\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Ésta es la ecuación ordinaria de la parábola que tiene $V\left(–\frac{1}{4},1\right)$y eje focal paralelo al eje $x$.

Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en un punto cualquiera del plano y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados.

Lado recto

El lado recto es la longitud de la cuerda que es perpendicular al eje focal y pasa por el foco. Se puede demostrar que la longitud del lado recto es $\left|4c\right|$

 $$\left|L{L}^{\prime }\right|=\left|4c\right|$$

Dejamos la demostración a cargo del lector interesado.

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Elementos de una parábola

Foco:

El foco F es el punto fijo. Los puntos de la parábola equidistan del foco y la directriz.

Directriz:

Es la recta fija D. Los puntos de la parábola equidistan de la directriz y el foco.

Radio vector:

Es el segmento R que une el foco con cada uno de los puntos de la parábola. Es igual al segmento perpendicular a la directriz desde el punto correspondiente.

Eje:

Es la recta E perpendicular a la directriz que pasa por el foco y el vértice. Es el eje de simetría de la parábola.

Parámetro:

p es la distancia entre el foco y el punto más próximo de la directriz.

Es importante el signo que lleve el parámetro en la ecuación. En las parábolas verticales, cuando el parámetro lleva signo positivo la parábola se abre hacia arriba. Cuando el signo de p es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Igualmente, en las parábolas horizontales, cuando el signo que lleva p es positivo, se abre hacia la derecha y cuando el signo que lleva p es negativo, la parábola se abre a la izquierda.

(Algunos autores llaman parámetro a la distancia entre foco y vértice).

Vértice:

Es el punto V de la intersección del eje y la parábola.

Distancia focal:

Distancia entre el foco F y el vértice V. Es igual a p/2.

Puntos interiores y exteriores:

La parábola divide el plano en dos regiones. Los puntos que están en la región del foco se llaman puntos interiores (I), mientras que los otros son los exteriores (J).

Cuerda:

Segmento que une dos puntos cualesquiera de la parábola.

Cuerda focal:

Una cuerda que pasa por el foco F.

Lado recto:

Cuerda focal paralela a la directriz D y, por tanto, perpendicular al eje E. Su longitud es dos veces el módulo del parámetro (2p, pues se ven en la figura dos cuadrados unidos iguales de lado p).

(Debe recordarse que entre foco, vértice y directriz, el vértice V está siempre en el centro. El orden es F – V – D o D – V – F).

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