• vie. May 24th, 2024

¿COMO SIMPLIFICAR FRACCIONES ALGEBRAICAS ? | MATEMÁTICAS

Simplificación de fracciones algebraicas | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS

¿COMO SIMPLIFICAR FRACCIONES ALGEBRAICAS ? | MATEMÁTICAS

¿COMO SIMPLIFICAR FRACCIONES ALGEBRAICAS ?




Simplificación de fracciones algebraicas | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS

Simplificar los siguientes ejercicios:

\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}

Aquí vamos a suponer que x y y son números… De hecho, eso representan. Así que vamos a utilizar el procedimiento para sumar fracciones:

 

    \begin{equation*} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{x\,y} \end{equation*}

Observa que en realidad primero encontramos fracciones equivalentes a cada una de las fracciones algebraicas que se están sumando, porque:

    \begin{equation*} \frac{1}{x}=\frac{y}{x\,y}\qquad\mbox{ y }\qquad\frac{1}{y}=\frac{x}{x\,y} \end{equation*}

Así que sumar:

    \begin{equation*} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \end{equation*}

Es lo mismo que sumar:

    \begin{equation*} \frac{y}{x\,y} + \frac{x}{x\,y} = \frac{y+x}{x\,y} \end{equation*}

porque ahora tenemos denominador común.

Ejercicio 2

Simplifica:

    \begin{equation*} \frac{3}{x-y}+\frac{2}{x+y} = \end{equation*}

Empezamos encontrando el mínimo común denominador, que es en sí el mínimo común múltiplo de los denominadores. En este caso, es igual al producto de los denominadores:

 

    \begin{equation*} \frac{3}{x-y}+\frac{2}{x+y}=\frac{}{~~(x-y)(x+y)~~} \end{equation*}

Ahora vamos a realizar el mismo procedimiento que con las fracciones que tienen números en lugar de literales, es decir, vamos a multiplicar cruzado:

    \begin{equation*} \frac{3}{x-y}+\frac{2}{x+y}=\frac{3\,(x+y)+2\,(x-y)}{~~(x-y)(x+y)~~} \end{equation*}

Ahora realizamos las operaciones y simplificamos hasta donde sea posible.

    \begin{eqnarray*} \frac{3\,(x+y)+2\,(x-y)}{~~(x-y)(x+y)~~}&=&\displaystyle\frac{3\,x+3\,y+2\,x-2\,y}{~~(x-y)(x+y)~~}\\ &=&\displaystyle\frac{5\,x+y}{~~(x-y)(x+y)~~} \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*} \frac{3}{x-y}+\frac{2}{x+y}=\frac{5\,x+y}{~~(x-y)(x+y)~~} \end{equation*}


Algunas de las fracciones que vamos a simplificar se verán muy difíciles, pero en realidad, lo que tenemos que hacer es aplicar los procedimientos que normalmente usamos con las fracciones (con números en el numerador y en el denominador), realizar las operaciones que queden indicadas y terminamos.


Ejercicio 3

Simplifica:

    \begin{equation*} \displaystyle\frac{x}{y^2}-\frac{y}{x^2}= \end{equation*}

En este caso tenemos que utilizar el mismo procedimiento. Primero encontramos en mínimo común denominador:

 

    \begin{equation*} \frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2} = \frac{}{x^2\,y^2} \end{equation*}

Ahora realizamos el producto cruzado:

    \begin{equation*} \frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2} = \frac{x^3-y^3}{x^2\,y^2} \end{equation*}

 

Esto significa que:

    \begin{equation*} \frac{x}{y^2}-\frac{y}{x^2}=\frac{x^3-y^3}{x^2\,y^2} \end{equation*}


Algunas veces nos servirá factorizar para simplificar los resultados o las fracciones antes de empezar con las operaciones.


Ejercicio 4

Simplifica:

    \begin{equation*} \frac{x^2-3\,x-10}{x^2+2\,x-3}\cdot\frac{x^2+7\,x+12}{x^2+6\,x+8}= \end{equation*}

Primero factorizamos todos los polinomios que se encuentras en los numeradores y denominadores de las fracciones:

 

    \begin{eqnarray*} x^2-3\,x-10&=&(x+2)(x-5)\\ x^2+2\,x-3&=&(x+3)(x-1)\\ x^2+7\,x+12&=&(x+3)(x+4)\\ x^2+6\,x+8&=&(x+4)(x+2) \end{eqnarray*}

Entonces, podemos escribir la operación de la siguiente manera equi\-va\-lente:

    \begin{equation*} \frac{x^2-3\,x-10}{x^2+2\,x-3}\cdot\frac{x^2+7\,x+12}{x^2+6\,x+8} = \frac{(x+2)(x-5)}{(x+3)(x-1)}\cdot\frac{(x+3)(x+4)}{(x+4)(x+2)} \end{equation*}

Ahora realizamos la multiplicación como se hace con las fracciones con números: multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador:

    \begin{eqnarray*} \frac{x^2-3\,x-10}{x^2+2\,x-3}\cdot\frac{x^2+7\,x+12}{x^2+6\,x+8} &=& \frac{(x+2)(x-5)}{(x+3)(x-1)}\cdot\frac{(x+3)(x+4)}{(x+4)(x+2)}\\ &=& \frac{\cancel{(x+2)}(x-5)\cancel{(x+3)}\cancel{(x+4)}}{\cancel{(x+3)}(x-1)\cancel{(x+4)}\cancel{(x+2)}}\\ &=& \frac{x-5}{x-1} \end{eqnarray*}


La división también se realiza exactamente de la misma manera que con los números: multiplicamos cruzado


Ejercicio 5

Simplifica:

    \begin{equation*} \displaystyle\frac{x^2+2\,x-35}{x^2+11\,x+18}\div\frac{x^2-4\,x-5}{x^2+10\,x+9} \end{equation*}

Empezamos factorizando los polinomios:

 

    \begin{eqnarray*} x^2+2\,x-35&=&(x+7)(x-5)\\ x^2+11\,x+18&=&(x+2)(x+9)\\ x^2-4\,x-5&=&(x-5)(x+1)\\ x^2+10\,x+9&=&(x+9)(x+1) \end{eqnarray*}

Ahora podemos expresar la operación y simplificar el divisor:

    \begin{eqnarray*} \frac{x^2+2\,x-35}{x^2+11\,x+18}\div\frac{x^2-4\,x-5}{x^2+10\,x+9}&=&\frac{(x+7)(x-5)}{(x+2)(x+9)}\div\frac{(x-5)\cancel{(x+1)}}{(x+9)\cancel{(x+1)}}\\ &=& \frac{(x+7)(x-5)}{(x+2)(x+9)}\div\frac{x-5}{x+9}\\ \end{eqnarray*}

lo cual simplifica nuestra operación. Ahora realizamos la división:

    \begin{eqnarray*} \frac{x^2+2\,x-35}{x^2+11\,x+18}\div\frac{x^2-4\,x-5}{x^2+10\,x+9}&=&\frac{(x+7)(x-5)}{(x+2)(x+9)}\div\frac{x-5}{x+9}\\ &=& \frac{(x+7)\cancel{(x-5)}\cancel{(x+9)}}{(x+2)\cancel{(x+9)}\cancel{(x-5)}}\\ &=& \frac{x+7}{x+2} \end{eqnarray*}

Finalmente ;

    \begin{equation*} \frac{x^2+2\,x-35}{x^2+11\,x+18}\div\frac{x^2-4\,x-5}{x^2+10\,x+9}=\frac{x+7}{x+2} \end{equation*}

 




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