• lun. May 29th, 2023

SUCESIONES Y SERIES | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS


¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma aplicada a los términos de una sucesión matemática. Informalmente, es el resultado de sumar los términos:

{\displaystyle S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+\dots }
lo que suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:

{\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}a_{i}}
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un paso al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita

Ejemplos

{1, 2, 3, 4 ,…} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, …} también es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32, …} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre “alfredo”

{0, 1, 0, 1, 0, 1, …} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

En orden

Cuando decimos que los términos están “en orden”, ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás… o alternando… ¡o el que quieras!

Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).

Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, …} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}

La regla

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, …} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

{3, 5, 7, 9, ...}

¡Pero la regla debería ser una fórmula!

Decir que “empieza por 3 y salta 2 cada vez” no nos dice cómo se calcula el:

  • 10º término,
  • 100º término, o
  • n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).

Así que queremos una fórmula con “n” dentro (donde n será la posición que tiene el término).

Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, …}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser “2 × n”. Vamos a verlo:

Probamos la regla: 2n

n Término Prueba
1 3 2n = 2×1 = 2
2 5 2n = 2×2 = 4
3 7 2n = 2×3 = 6

Esto casi funciona… pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:

Probamos la regla: 2n+1

n Término Regla
1 3 2n+1 = 2×1 + 1 = 3
2 5 2n+1 = 2×+ 1 = 5
3 7 2n+1 = 2×3 + 1 = 7

¡Funciona!

Así que en vez de decir “empieza por 3 y salta 2 cada vez” escribimos la regla como

La regla para {3, 5, 7, 9, …} es: 2n+1

Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201

Notación

Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

Posición del término

Es normal usar xn para los términos:

  • xn es el término
  • n es la posición de ese término
Así que para hablar del “quinto término” sólo tienes que escribir: x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, …} en forma de ecuación, así:

xn = 2n+1

Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21

¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?

Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:

Tipos de sucesiones

Sucesiones aritméticas

El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,…}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.

Ejemplos

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, …
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n-2
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, …
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla es xn = 5n-2

Sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.

Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, …
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es xn = 2n
3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, …
Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n
4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...
Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.
La regla es xn = 4 × 2-n

Sucesiones especiales

Números triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, …

Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.

números triangulares
Pero es más fácil usar la regla

xn = n(n+1)/2

Ejemplo:

  • El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
  • y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21

Números cuadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, …

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.

La regla es xn = n2

Números cúbicos

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, …

El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.

La regla es xn = n3

Números de Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)

La regla es xn = xn-1 + xn-2

Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.

Por ejemplo el 6º término se calcularía así:

x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8

Series

“Sucesiones” y “series” pueden parecer la misma cosa… pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.

Sucesión: {1,2,3,4}

Serie: 1+2+3+4 = 10

Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa “súmalos todos”:

suma de 1 a 4 Esto significa “suma de 1 a 4” = 10
suma 2n+1 Esto significa “suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1

Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,…} = 3+5+7+9 = 24

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