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SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS – 2 x 2

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 2 x 2| CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS.

SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS – 2 x 2.

SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS – 2 x 2




PREGUNTAS FRECUENTES DEL SISTEMA DE ECUACIONES DE DOS INCÓGNITAS

¿Qué es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas?

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 2 x 2 

Objetivos: sistema de ecuaciones 2 x 2

Identificar un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables.
Clasificar un sistema según sus soluciones.
Resolver sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos variables utilizando el método gráficoy el de sustitución.
Modelar aplicaciones mediante el planteamiento de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables.

Introducción:
Un sistema lineal con dos ecuaciones y dos variables está formado por dos ecuaciones lineales, cada una generalmente con las variables x e y.
Una solución de un sistema es una asignación de valores de las variables que hacen que cada una de las ecuaciones del sistema se cumpla. Resolverlo consiste en determinar los valores de x e y que hacen ciertas simultáneamente las dos igualdades. Un sistema de este tipo puede no tener solución, tener una solución o tener infinitas soluciones. Existen varios métodos algebraicos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas; entre ellos se encuentra el método de sustitución. Estos sistemas se utilizan para resolver problemas relacionados con la ciencia o con mas campos.

Clasificación de un sistema según sus soluciones.

Sea un sistema de ecuaciones lineales con dos variables dado por forma:

{ax+by =cdx+ey =f ,

donde (a,b) no son simultáneamente cero, (d,e) no son simultáneamente cero y c,f∈ℝ.

En cada uno de los siguientes ejercicios necesitamos determinar si el sistema no tiene solución, tiene una solución o tiene infinitas soluciones. Usa la aplicación para trazar las gráficas de las rectas. Observa que para provocar cambios en la gráfica puedes modificar los valores de los parámetros moviendo los deslizadores de la aplicación.

Resuelve gráficamente los siguientes sistemas:

{2x+6y =0−3x−9y =18
{2x+y =11−x−2y =4
{12x+15y =−184x+5y =−6
{ − 2 x + 4 y = 6 − 2 x + 4 y = − 3
{ − 13 x − 7 y = 8 − 13 x − 7 y = 8

Puesto que las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables corresponden a los puntos en los que se cortan las rectas, completa:

Hay __________ solución si las rectas son __________
No hay soluciones si las rectas son __________
Hay __________ soluciones si las rectas son __________

¿Que condición deben cumplir los coeficientes y el término independiente para que:

Haya una sola solución?
Haya infinitas soluciones?
No haya solución?

Método de sustitución sistema de ecuaciones 2 x 2

Resolvamos el sistema    {2x+6y =0    (1) −3x−9y =18   (2)

El método consiste primero en elegir la variable que más fácilmente pueda despejarse en una de las ecuaciones para sustituirla en la otra ecuación. Para este ejemplo se despeja en (1) la variable “ x ” obteniendo así: 2x= −6y ⇒x= −6y 2⇒x =−3y

Ahora sustituimos el valor de “ x ” en la ecuación (2): −3(−3 y)−9y=18

Multiplicamos para remover los paréntesis, agrupamos términos semejantes y efectuamos operaciones:

⇒9y-9y=18 ⇒0 ≠18

Por lo tanto el sistema no tiene solución.

Resolvamos el sistema {2x+y =11    (1) −x−2y =4    (2)

Primero elegimos la variable que más fácilmente pueda despejarse en una de las ecuaciones para sustituirla en la otra ecuación. Para este ejemplo se despeja en (2) la variable “ x ” obteniendo asi:

− 2 y − 4 = x

Ahora sustituimos el valor de “ x ” en la ecuación (1):

2 ( − 2 y − 4 ) + y = 11

Multiplicamos para remover los paréntesis, agrupamos términos semejantes y efectuamos operaciones:

⇒ − 4 y − 8 + y = 11 ⇒ − 3 y = 11 + 8 ⇒ − 3 y = 19 ⇒ y = 19 − 3 = − 6.33

Una vez obtenido el valor de “ y ”, sustituimos en la expresión de “ x ” que hemos despejado al principio:

− 2 ( 19 − 3 ) − 4 = x 38 3 − 4 = x 26 3 = x 8.67 = x

Por lo tanto el sistema tiene solución única.

Resolvamos el sistema {12x+15y =−18 (1) 4x+5y =−6   (2)

Primero elegimos la variable que más fácilmente pueda despejarse en una de las ecuaciones para sustituirla en la otra ecuación. Para este ejemplo dividimos toda la ecuación (1) entre 3, obteniéndose así la ecuación (2)

12 x + 15 y 3 = − 18 3 ⇒ 4 x + 5 y = − 6

Por lo tanto se tienen ecuaciones repetidas para el sistema:

{ 12 x + 15 y = − 18 4 x + 5 y = − 6 ⇒ { 4 x + 5 y = − 6 4 x + 5 y = − 6

Luego las rectas se superponen una a otra, dando así un sistema con infinitas soluciones.

Resolvamos el sistema { − 2 x + 4 y = 6    (1) − 2 x + 4 y = − 3   (2)

Observemos que al despejar “ y ” en las dos ecuaciones se obtienen ecuaciones con igual pendiente y distintos interceptos con el eje vertical.

4 y = 2 x + 6 ⇒ y = 2 x + 6 4 ⇒ y = 1 2 x + 3 2 4 y = 2 x − 3 ⇒ y = 2 x − 3 4 ⇒ y = 1 2 x − 3 4

Por lo tanto las rectas son paralelas y el sistema no tiene solución.

Resolvamos el sistema { − 13 x − 7 y = 8 − 13 x − 7 y = 8

Estas dos rectas se superponen (ya que son la misma ), por lo tanto todos los puntos que pasen por esta recta serán solución al sistema. Por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones.




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