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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Razones trigonométricas

PREGUNTAS FRECUENTES SOBRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Razones trigo no métricas en un triángulo rectángulo

Seno

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B.

$fórmula de seno$

Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto adyacente o contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B.

$fórmula del coseno$

Tangente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al ángulo. Se denota por tan B o tg B.

$fórmula de tangente$

Cosecante

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.

Se denota por csc B o cosec B.

$fórmula de cosecante$

Secante

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

$fórmula de secante$

Cotangente

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cot B o ctg B.

$fórmula de cotangente$

SOH-CAH-TOA: Una manera de recordar de forma mas fácil

SOH-CAH-TOA es un acrónimo que se usa para poder memorizar las definiciones de las razones trigo no métricas más importantes: seno, coseno y tangente. La siguiente tabla explica su significado.

$tabla sencilla para recordar las razones trigonométricas$

Para las otras razones trigo no métricas, en vez de crear otro acrónimo, es más sencillo aprenderse el hecho de que la cosecante, secante y cotangente, son opuestos multiplicativos del seno, coseno y tangente, respectivamente. En la siguiente tabla se detalla.

$\displaystyle \begin{matrix} \text{razon trigonometrica}& & \text{opuesto multiplicativo}\\ \\ \text{Seno}& & \text{Cosecante}\\ \text{sen } \alpha=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} & & \csc \alpha = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{opuesto}} \\ \\ \text{Coseno}& & \text{Secante}\\ \cos \alpha=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} & & \sec \alpha = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{adyacente}} \\ \\ \text{Tangente}& & \text{Cotangente}\\ \tan \alpha=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} & & \cot \alpha = \frac{\text{adyacente}}{\text{opuesto}} \end{matrix}$

Razones trigo no métricas en una circunferencia

Se llama circunferencia goniométrica o círculo unitario a aquella que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad.

Si consideramos un triángulo rectángulo dentro del círculo con el radio forma la hipotenusa y uno de los catetos está sobre el eje X, obtendremos una figura como la siguiente.

Calculamos el seno y coseno del ángulo $\alpha$

$\displaystyle \text{sen } \alpha =\frac{\text{PQ}}{\text{OP}}=\frac{\text{PQ}}{\text{r}}=\text{PQ}=y$

$\cos \alpha =\frac{\text{OQ}}{\text{OP}}=\frac{\text{OQ}}{\text{r}}=\text{OQ}=x$

Concluímos que

El seno es la ordenada de P, es decir del punto que está sobre la circunferencia.

El coseno es la abscisa de P, es decir del punto que está sobre la circunferencia.

Otro dato que podemos deducir es que los valores de seno y coseno están entre 1 y -1.

-1 ≤ sen α ≤ 1

-1 ≤ cos α ≤ 1

Cabe destacar que la razón por la que se consideran las funciones trigonométricas en el círculo es para poder tomar ángulo más grandes. Por ejemplo, del un triángulo rectángulo no podría saber cuánto es $\cos 150^{\circ}$ , porque no puedo construir un triángulo rectángulo con un ángulo de 150°.

funcion trigonometrica
El círculo unitario me permite hacer ese cálculo. Lo que hago es:
1 Localizo el ángulo de 150° que se forma a partir del eje X en dirección opuesta a las manecillas del reloj.
2 Considero el punto sobre la circunferencia que se forma con el ángulo

La ordenada de ese punto es el seno
La abscisa es el coseno

Para las otras razones trigo no métricas consideramos la siguiente figura

interpretacion geometrica de las razones trigonometricas

QOP y TOS son triángulos semejantes. Entonces,

$\displaystyle \frac{OP}{OS}=\frac{PQ}{ST}=\frac{OQ}{OT}$

QOP y T’OS′ son triángulos semejantes. Entonces,

$\displaystyle \frac{OP}{OS'}=\frac{PQ}{OT'}=\frac{OQ}{S'T'}$

Usando las definiciones de las razones trigonométricas y las relaciones entre los triángulos semejantes obtenemos

$\displaystyle \csc \alpha =\frac{\text{OP}}{\text{PQ}}=\frac{\text{OS'}}{\text{OT'}}=\frac{\text{OS'}}{\text{r}}=\text{OS'}$

$\displaystyle \sec \alpha =\frac{\text{OP}}{\text{OQ}}=\frac{\text{OS}}{\text{OT}}=\frac{\text{OS}}{\text{r}}=\text{OS}$

$\displaystyle \tan \alpha =\frac{\text{PQ}}{\text{OQ}}=\frac{\text{ST}}{\text{OT}}=\frac{\text{ST}}{\text{r}}=\text{ST}$

$\displaystyle \cot \alpha =\frac{\text{OQ}}{\text{PQ}}=\frac{\text{S'T'}}{\text{OT'}}=\frac{\text{S'T'}}{\text{r}}=\text{S'T'}$

Signo de las razones trig.

En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj. Recordemos que si consideramos un ángulo $\alpha$ y tomamos el triángulo rectángulo dentro del círculo que se genera con dicho ángulo, el signo de el seno o coseno de este ángulo dependerá de en cuál cuadrante se ubique el triangulo.

Tabla de razones tri.

Relaciones pitagóricas entre las razones trigonométricas

$\cos^2 \alpha + \text{sen }^2 \alpha = 1$

$\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha$

$\csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha$

Explicación:

trigonometría
Como el triángulo que se considera dentro del círculo es rectángulo se cumple que
$a^2+b^2=c^2$
En la imagen, los catetos (a y b) corresponden a los valores x y y, y la hipotenusa al radio, o sea , 1.
Entonces $x^2+y^2=1$
Como x es la abscisa y y la ordenada sabemos que estos valores corresponden al coseno y seno respectivamente. Entonces,
$\cos^2\alpha+\text{sen}^2 \alpha=1$

De divir la ecuación anterior por $\cos^2 \alpha$ obtengo
$\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha$
Si en cambio hubiera dividido por $\text{sen}^2 \alpha$ obtendría
$\csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha$

Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos

1.Ángulos complementarios

Se dice que dos ángulos son complementarios si su suma es 90°, es decir, un ángulo recto.

representación gráfica de circulo circunscrito y ángulos complementarios

$\displaystyle\text{sen }\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha$

$\displaystyle \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\text{sen } \alpha$

$\displaystyle \tan \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot \alpha$

2.Ángulos suplementarios

Se dice que dos ángulos son suplementarios si su suma es 180°.

representación gráfica de circulo circunscrito y angulos suplementarios

$\text{sen }\left(\pi-\alpha\right)=\text{sen } \alpha$

$\cos \left(\pi-\alpha\right)=-\cos \alpha$

$\tan \left(\pi-\alpha\right)=-\tan \alpha$

3.Ángulos que difieren en 180°

representación gráfica de circulo circunscrito y angulos que difieren por 180 grados

$\text{sen }\left(\pi+\alpha\right)=-\text{sen } \alpha$

$\cos \left(\pi+\alpha\right)=-\cos \alpha$

$\tan \left(\pi+\alpha\right)=\tan \alpha$

4.Ángulos opuestos

representación gráfica de circulo circunscrito y angulos opuestos

$\text{sen }\left(2\pi-\alpha\right)=-\text{sen } \alpha$

$\cos \left(2\pi-\alpha\right)=\cos \alpha$

$\tan \left(2\pi-\alpha\right)=-\tan \alpha$

5.Ángulos negativos

representación gráfica de circulo circunscrito y angulos negativos

$\text{sen }\left(-\alpha\right)=-\text{sen } \alpha$

$\cos \left(-\alpha\right)=\cos \alpha$

$\tan\left(-\alpha\right)=-\tan \alpha$

6.Mayores de 360º

representación gráfica de circulo circunscrito y ángulos mayores de 360 grados

$\text{sen }\left(\alpha+2\pi k\right)=\text{sen } \alpha$

$\cos \left(\alpha+2\pi k\right)=\cos \alpha$

$\tan \left(\alpha+2\pi k\right)=\tan \alpha$

7.Ángulos que difieren en 90º

representación gráfica de circulo circunscrito y Ángulos que difieren en 90º

$\displaystyle \text{sen }\left(\frac{\pi}{2}+\alpha \right)=\cos \alpha$

$\displaystyle \cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha \right)=-\text{sen } \alpha$

$\displaystyle \tan \left(\frac{\pi}{2}+\alpha \right)=-\cot \alpha$

8.Ángulos que suman en 270º

representación gráfica de circulo circunscrito y Ángulos que suman en 270

$\displaystyle \text{sen }\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=-\cos \alpha$

$\displaystyle \cos \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=-\text{sen } \alpha$

$\displaystyle \tan \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=\cot \alpha$

9.Ángulos que difieren en 270º

representación gráfica de circulo circunscrito y ángulos que diferen en 270 grados

$\displaystyle \text{sen }\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=-\cos \alpha$

$\displaystyle\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)= \text{sen }\alpha$

$\displaystyle \tan \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=-\cot \alpha$

1.Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

$\text{sen }(a+b)=\text{sen }a\cos b+\cos a \text{ sen }b$

$\text{sen }(a-b)=\text{sen }a\cos b-\cos a \text{ sen }b$

$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\text{sen }a\text{ sen }b$

$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\text{sen }a\text{ sen }b$

$\displaystyle \tan (a+b)=\frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \tan b}$

$\displaystyle \tan (a-b)=\frac{\tan a - \tan b}{1+\tan a \tan b}$

2.Razones trigonométricas del ángulo doble

$\text{sen } 2a= 2\text{ sen }a \cos a$

$\cos 2a= \cos^2 a-\text{ sen }^2 a=1-2\text{sen }^2 a=2\cos^2 a -1$

$\displaystyle \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2 a}$

3.Razones trigonométricas del ángulo mitad

$\displaystyle \text{sen }\frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}$

$\displaystyle \cos \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}$

$\displaystyle \tan \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}$

Transformaciones de sumas en productos

$\displaystyle \text{sen }A+\text{sen } B= 2 \text{ sen } \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$

$\displaystyle \text{sen }A-\text{sen } B= 2\cos \frac{A+B}{2} \text{ sen } \frac{A-B}{2}$

$\displaystyle \cos A+\cos B= 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$

$\displaystyle \cos A-\cos B= -2 \text{ sen } \frac{A+B}{2} \text{ sen } \frac{A-B}{2}$

Transformaciones de productos en sumas

$\displaystyle \text{sen }A\cdot \cos B=\frac{1}{2}\left[\text{sen }(A+B)+\text{sen }(A-B)\right]$

$\displaystyle \cos A\cdot \cos B=\frac{1}{2}\left[\cos(A+B)+\cos (A-B)\right]$

$\displaystyle \text{sen } A\cdot \text{sen } B=-\frac{1}{2}\left[\cos (A+B)-\cos (A-B)\right]$

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