Racionalizar y simplificar raíces | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS

• Cuadrado de la resta:

• $$(a-b{)\; ^}^2={\mathrm{a\; ^}}^2-2ab+{\mathrm{b\; ^}}^2$$

•  

• Suma por diferencia:

• $$(a+b)(a-b)={\mathrm{a\; ^}}^2-{\mathrm{b\; ^}}^2$$

Recuerda que también una raíz puede escribirse como una potencia:

$$\sqrt[n]{na}={\mathrm{a\; ^}}^{\frac{\mathrm{1/}}{n}}$$

 

$$\sqrt[n]{n{a}^b}={\mathrm{a\; ^}}^{\frac{\mathrm{b/}}{n}}$$

 

$$(\sqrt[n]{na}{)}^b={\mathrm{a\; ^}}^{\frac{\mathrm{b/}}{n}}$$

 

Y que el producto de raíces del mismo orden es igual a la raíz del producto de sus radicandos:

$$\sqrt[n]{na}\cdot \sqrt[n]{nb}=\sqrt[n]{na\cdot b}$$

 

Utilizaremos habitualmente la siguiente igualdad:

$$\frac{\mathrm{A/}}{B}=\frac{A\cdot \mathrm{C/}}{B\cdot C}$$

 

Es decir, multiplicaremos en el numerador y en el denominador por el mismo factor para obtener una fracción equivalente. Si es escogido adecuadamente el factor $C$

, al calcular el producto desaparecerán las raíces del denominador.

Llamaremos conjugado de la suma $A+B$

al número $A-B$ (cambiamos el signo) y conjugado de la resta $A-B$ a $A+B$

 

$$={\mathrm{3\; ^}}^2-(\sqrt{a}{)\; ^}^2$$

 

La raíz cuadrada desaparece al elevarla al cuadrado:

$${\mathrm{3\; ^}}^2-(\sqrt{a}{)\; ^}^2=9-a$$

Ejercicio 2

Calcular el siguiente producto:

Solución

Podemos agrupar los sumandos del siguiente modo para ver que en realidad tenemos una suma por diferencia

$$(a+b+\sqrt{a^2+b^2})(a+b-\sqrt{a^2+b^2})=$$

 

$$=\left((a+b)+\sqrt{a^2+b^2}\right)\left((a+b)-\sqrt{a^2+b^2}\right)$$

 

Por tanto, el producto es la diferencia de los cuadrados:

$$\left((a+b)+\sqrt{a^2+b^2}\right)\left((a+b)-\sqrt{a^2+b^2}\right)=$$

 

$$=(a+b{)}^2-{\left(\sqrt{{}^{}+{}^{}}\right)}^2=(a+b{)}^2-(a^2+b^2)$$

 

La raíz cuadrada ha desaparecido porque está elevada al cuadrado.

Ahora aplicamos la fórmula del cuadrado de la suma:

$$(a+b{)}^2-(a^2+b^2)=$$

 

$$=a^2+b^2+2ab-(a^2+b^2)=$$

 

$$=2ab$$

En los siguientes 3 ejercicios vamos a racionalizar fracciones simples:

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Ejercicio 3

Racionalizar:

$$\frac{3}{1-\sqrt{3}}$$

 

Solución

Como tenemos una resta en el denominador, multiplicamos por el conjugado de la resta (el conjungado se calcula cambiando el signo negativo por el positivo):

$$\frac{3}{1-\sqrt{3}}=$$

 

$$=\frac{3\cdot (1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})\cdot (1+\sqrt{3})}$$

 

En el denominador tenemos una suma por una diferencia. El resultado de esta operación es la diferencia de los cuadrados de los sumandos:

$$\frac{3\cdot (1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})\cdot (1+\sqrt{3})}=$$

 

$$=\frac{3\cdot (1+\sqrt{3})}{1^2-(\sqrt{3}{)}^2}$$

 

La raíz desaparece al elevar al cuadrado:

$$=\frac{3\cdot (1+\sqrt{3})}{1-3}=$$

 

$$=\frac{3\cdot (1+\sqrt{3})}{-2}$$

Ejercicio 4

Racionalizar:

$$\frac{1}{5+\sqrt{3}}$$

 

Solución

La fracción de este ejercicio es como la del ejercicios anterior, pero en lugar de un signo negativo tenemos uno positivo.

Porcedemos del mismo modo (multiplicamos por el conjugado del denominador):

$$\frac{1}{5+\sqrt{3}}=$$

 

$$=\frac{1\cdot (5-\sqrt{3})}{(5+\sqrt{3})\cdot (5-\sqrt{3})}$$

 

En el denominador tenemos una suma por una diferencia:

$$\frac{1\cdot (5-\sqrt{3})}{(5+\sqrt{3})\cdot (5-\sqrt{3})}=$$

 

$$=\frac{1\cdot (5-\sqrt{3})}{5^2-(\sqrt{3}{)}^2}$$

 

La raíz desaparece al elevar al cuadrado:

$$=\frac{1\cdot (5-\sqrt{3})}{25-3}=$$

 

$$=\frac{1\cdot (5-\sqrt{3})}{22}=$$

 

$$=\frac{5-\sqrt{3}}{22}$$

Ejercicio 5

Racionalizar la siguiente fracción con parámetros:

Solución

Como tenemos una resta en el denominador, multiplicamos por su conjugado:

$$\frac{\sqrt{a}}{2-\sqrt{a}}=$$

 

$$=\frac{\sqrt{a}}{2-\sqrt{a}}\cdot \frac{2+\sqrt{a}}{2+\sqrt{a}}=$$

 

$$=\frac{\sqrt{a}(2+\sqrt{a})}{2^2-(\sqrt{a}{)}^2}=$$

 

$$=\frac{2\sqrt{a}+(\sqrt{a}{)}^2}{4-a}=$$

 

$$=\frac{2\sqrt{a}+a}{4-a}$$

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Ejercicio 6

Racionalizar la siguiente fracción que tiene una resta de raíces en el denominador:

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Ejercicio 7

Sumar las siguientes fracciones y racionalizar el resultado:

Solución

Para poder sumar las fracciones tienen que tener el mismo denominador. Nótese que el denominador de una de ellas es el conjugado de la otra.

El denominador común para poder sumar las fracciones es el producto de los denominadores:

$$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$$

 

Multiplicamos y dividimos cada fracción por el factor que le falta al denominador para que ambas fracciones tengan el denominador común:

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=$$

 

$$=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=$$

 

Sumamos las fracciones:

$$=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)+\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=$$

 

Simplificamos el denominador, que es una suma por diferencia

$$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=$$

 

$$={\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2=a-b$$

 

Y el numerador es

$$\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)+\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=$$

 

$$=(\sqrt{a}{)}^2-\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}\sqrt{a}+{\left(\sqrt{b}\right)}^2=$$

 

$$=a-\sqrt{ab}+\sqrt{ab}+b=a+b$$

 

Por tanto,

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{a+b}{a-b}$$

 

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Ejercicio 8

Racionalizar la siguiente fracción que tiene una raíz cúbica en el denominador:

$$\frac{2}{\sqrt[3]{35}}$$

 

Solución

La raíz del denominador es cúbica y, por tanto, si la multiplicamos ella misma, seguiremos teniendo una raíz en el denominador.

Al igual que las raíces cuadradas desaparecen cuando están al cuadrado, las raíces cúbicas desaparecen cuando están al cubo. Entonces, multiplicamos por la raíz al cuadrado:

$$\frac{2}{\sqrt[3]{35}}=$$

 

$$=\frac{2}{\sqrt[3]{35}}\cdot \frac{(\sqrt[3]{35}{)}^2}{(\sqrt[3]{35}{)}^2}=$$

 

$$=\frac{2(\sqrt[3]{35}{)}^2}{(\sqrt[3]{35}{)}^3}$$

 

Desaparece el signo radical del denominador:

$$=\frac{2(\sqrt[3]{35}{)}^2}{5}$$

 

Si introducimos el cuadrado dentro de la raíz, el resultado final es

$$\frac{2\sqrt[3]{325}}{5}$$

Ejercicio 9

Racionalizar la siguiente fracción que tiene una raíz séptima en el denominador:

$$\frac{2}{\sqrt[7]{72}}$$

 

Solución

Multiplicamos y dividimos la fracción por la raíz del denominador elevada a la sexta para que desaparezca la raíz del denominador:

$$\frac{2}{\sqrt[7]{72}}=$$

 

$$=\frac{2}{\sqrt[7]{72}}\cdot \frac{(\sqrt[7]{72}{)}^6}{(\sqrt[7]{72}{)}^6}=$$

 

$$=\frac{2(\sqrt[7]{72}{)}^6}{(\sqrt[7]{72}{)}^7}$$

 

Desaparece el signo radical del denominador:

$$=\frac{2(\sqrt[7]{72}{)}^6}{2}=$$

 

$$=(\sqrt[7]{72}{)}^6=\sqrt[7]{764}$$

 

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Ejercicio 10

Racionalizar la siguiente fracción que tiene una suma de raíces cuartas en el denominador:

, tenemos.

$$(\sqrt[4]{4a}{)}^2={\left({}^{}\right)}^2=$$

 

$$=a^{\frac{2}{4}}=a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$$

 

Del mismo modo,

$$(\sqrt[4]{4b}{)}^2=\sqrt{b}$$

Ejercicio 11

Racionalizar la siguiente fracción con una diferencia de raíces de distinto orden en el denominador:

 

$$=n^{\frac{2}{4}}=n^{\frac{1}{2}}=\sqrt{n}$$

Ejercicio 12

Racionalizar la siguiente fracción con raíces de raíces (raíces anidadas):

(porque son raíces cuadradas):

En el numerador aplicamos la potencia del producto es el producto de las potencias. En el denominador escribimos la raíz cuadrada como un potencia y tenemos una potencia de potencia, por lo que multiplicamos los exponentes:

Para terminar, como tenemos en el denominador una potencia con base común, $a$

, podemos eliminarla al escribir su exponente restando al exponente de las potencias de $a$

Ejercicio 13

Simplificar la siguiente raíz cuadrada racionalizando el resultado:

 

$$\frac{a^2}{mn}\left(\frac{m+n}{mn}\right)=\frac{a^2(m+n)}{m^2{n}^2}$$

 

Por tanto,

$$\sqrt{\frac{a^2}{m{n}^2}+\frac{a^2}{m^{2}n}}=$$

 

$$=\sqrt{\frac{a^2(m+n)}{m^2{n}^2}}=\frac{a\sqrt{m+n}}{mn}$$

En los siguientes ejercicios se pide simplificar las expresiones al máximo, racionalizando el resultado si es necesario.

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Ejercicio 14

Solución

Empezaremos simplificando el radicando extrayendo factores comunes:

$$4a^{2}cd+8abcd+4b^{2}cd=$$

 

$$=cd(4a^2+8ab+4b^2)=$$

 

$$=4cd(a^2+2ab+b^2)$$

 

El paréntesis es el desarrollo del cuadrado de la suma a + b

$$4cd(a^2+2ab+b^2)=$$

 

$$=4cd(a+b{)}^2=$$

 

$$=2^{2}cd(a+b{)}^2$$

 

Por tanto, la expresión inicial es igual a

$$\sqrt{2^{2}cd(a+b{)}^2}=2(a+b)\sqrt{cd}$$

 

Hemos extraído de la raíz los factores que estaban al cuadrado.

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Ejercicio 15

Solución

 

$$=(ab{)}^{\frac{1}{2}}\cdot (a^2{b}^2{)}^{\frac{1}{3}}\cdot (a{b}^3{)}^{\frac{1}{4}}=$$

 

$$=a^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{2}}{a}^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{2}{3}}{a}^{\frac{1}{4}}{b}^{\frac{3}{4}}$$

 

$$=a^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}\cdot b^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}}=$$

 

$$=a^{\frac{17}{12}}{b}^{\frac{23}{12}}=\sqrt[12]{12a^{17}{b}^{23}}=$$

 

$$=ab\sqrt[12]{12a^5{b}^{11}}$$

Ejercicio 16

Solución

Vamos a intentar sumar todos los términos.

Notemos que tenemos la suma de tres raíces (en un principio distintas) y cada una tiene un coeficiente (el número que la multiplica).

Para poder agrupar los sumandos necesitamos que todos tengan la misma raíz, así que vamos a reescribirlas:

La primera raíz es

$$\sqrt{8a}$$

 

Escribimos 8 como una potencia:

$$\sqrt{8\cdot a}=\sqrt{2^3\cdot a}=2\sqrt{2\cdot a}$$

 

Recordemos que por cada cuadrado en el radicando podemos extraer una vez la base. Como teníamos 2 ³ = 2 ² · 2 ¹, hemos extraído un 2 desapareciendo el cuadrado y quedando en el radicando 2.

La segunda raíz es

$$\sqrt{18a}$$

 

Podemos escribir 18 en forma de producto de potencias como 18 = 2·9 = 2·3 ². Por tanto,

$$\sqrt{18\cdot a}=\sqrt{2\cdot 3^{2}a}=3\sqrt{2a}$$

 

Notemos que la tercera raíz ya no la podemos simplificar más.

Ahora todos los sumandos tienen la misma raíz, por lo que podemos sumarlos:

$$(2a+3b)2\sqrt{2a}+$$

 

$$+(a+2b-c)3\sqrt{2a}-$$

 

$$-(4a-b-3c)\sqrt{2a}=$$

 

$$=(4a+6b)\sqrt{2a}+$$

 

$$+(3a+6b-3c)\sqrt{2a}-$$

 

$$-(4a-b-3c)\sqrt{2a}=$$

 

$$=(4a+6b+3a+6b-3c-4a+b+3c)\sqrt{2a}=$$

 

$$=(13b+3a)\sqrt{2a}$$

Ejercicio 17

Solución

Lo primero que haremos es reducir el radicando. Una vez conseguido, escribiremos la raíz cuadrada. Así, será más rápido realizar los cálculos.

El radicando es

$$6a^2{b}^4{c}^3:\frac{2a{b}^3{c}^3}{9a^5{b}^8{c}^6}$$

 

Antes de todo, diremos que la operación : (división) divide al producto que tiene a su izquierda entre la fracción que tiene a su dercha. No es necesario que haya paréntesis ya que no hay ninguna suma.

Escribimos esta división en forma de fracción ya que normalmente trabajamos más cómodamente con esta notación:

$$6a^2{b}^4{c}^3:\frac{2a{b}^3{c}^3}{9a^5{b}^8{c}^6}=$$

 

$$=\frac{6a^2{b}^4{c}^3}{\frac{2a{b}^3{c}^3}{9a^5{b}^8{c}^6}}=$$

 

$$=\frac{\frac{6a^2{b}^4{c}^3}{1}}{\frac{2a{b}^3{c}^3}{9a^5{b}^8{c}^6}}$$

 

Hemos escrito el numerador de la fracción externa como una fracción para aplicar la ley  del sandwich: pan con pan y queso con queso. Esto quiere decir,

$$\frac{\frac{a}{\mathrm{b/}}}{\frac{c}{d}}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$$

 

Por tanto,

$$\frac{\frac{6a^2{b}^4{c}^3}{1}}{\frac{2a{b}^3{c}^3}{9a^5{b}^8{c}^6}}=$$

 

$$=\frac{6a^2{b}^4{c}^{3}9a^5{b}^8{c}^6}{2a{b}^3{c}^3}$$

 

Simplificamos aplicando las reglas de las potencias (producto y división):

$$\frac{6a^2{b}^4{c}^{3}9a^5{b}^8{c}^6}{2a{b}^3{c}^3}=$$

 

$$=27a^6{b}^9{c}^6$$

 

Por tanto, la expresión inicial (con la raíz) es igual a

$$\sqrt{27a^6{b}^9{c}^6}$$

 

Ahora escribimos los factores del radicando en forma de potencias para poder extraer algunos:

$$\sqrt{27a^6{b}^9{c}^6}=$$

 

$$=\sqrt{3\cdot 3^2{a}^2\cdot a^2\cdot a^2\cdot b^2\cdot b^2\cdot b^2\cdot b^2\cdot b\cdot c^2\cdot c^2\cdot c^2}=$$

 

$$=3\cdot \left(a^3\right)\cdot \left(b^4\right)\cdot \left(c^3\right)\sqrt{3\cdot b}$$

 

Notemos que el exponente de cada factor indica el número de potencias al cuadrado que hemos extraído de la raíz cuadrada.

Podemos simplificar la expresión como

$$=3(ac{)}^3{b}^4\sqrt{3\cdot b}$$

Ejercicio 18

Solución

Trateremos de reducir la expresión del radicando sin escribir la raíz cuadrada para no arrastrar dicho símbolo durante las operaciones. Después la volveremos a escribir.

El radicando es el producto:

$$\left(\frac{1}{x^2(a-x)}-\frac{1}{a^2(a-x)}\right)\cdot (a+x)$$

 

Para poder sumar las fracciones tienen que tener el mismo denominador, pero esto no es así.

En ambos denominadores tenemos el factor (a-x), pero en uno tenemos x² y en el otro tenemos a².

Multiplicamos y dividimos ambas cada una de las fracciones por el factor no común del denominador de la otra fracción:

$$\left(\frac{1}{x^2(a-x)}-\frac{1}{a^2(a-x)}\right)\cdot (a+x)=$$

 

$$=\left(\frac{a^2}{a^2{x}^2(a-x)}-\frac{x^2}{x^2{a}^2(a-x)}\right)\cdot (a+x)$$

 

Ahora ya podemos sumar ambas fracciones obteniendo:

$$\left(\frac{a^2-x^2}{a^2{x}^2(a-x)}\right)\cdot (a+x)$$

 

El numerador es una diferencia de cuadrados:

$$a^2-x^2=(a+x)(a-x)$$

 

Entonces la expresión queda como

$$\left(\frac{(a+x)(a-x)}{a^2{x}^2(a-x)}\right)\cdot (a+x)=$$

 

$$=\left(\frac{(a+x)}{a^2{x}^2}\right)\cdot (a+x)=$$

 

$$=\left(\frac{(a+x{)}^2}{a^2{x}^2}\right)=$$

 

$$={\left(\frac{a+x}{ax}\right)}^2$$

 

Por tanto, la expresión inicial (con la raíz cuadrada) es igual a

$$\sqrt{{\left(\frac{a+x}{ax}\right)}^2}=$$

 

$$=\frac{a+x}{ax}$$

En los siguientes ejercicios ya no explicaremos todos los pasos.

Ejercicio 19

Ejercicio 20

Ejercicio 21

Ejercicio 22

Ejercicio 23

Ejercicio 24

Ejercicio 25

Ejercicio 26

Ejercicio 27

Ejercicio 28

Ejercicio 29

Ejercicio 30

Ejercicio 31

Ejercicio 32

$$\frac{x\sqrt{x}-a\sqrt{a}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}$$

 

Solución

Multiplicamos en el numerador y en el denominador por $\sqrt{x}-\sqrt{a}$

:

$$\frac{x\sqrt{x}-a\sqrt{a}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}=$$

 

$$=\frac{x\sqrt{x}-a\sqrt{a}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}=$$

 

$$=\frac{x^2+x\sqrt{ax}-a\sqrt{ax}-a^2}{x-a}=$$

 

$$=\frac{{\mathrm{x\; ^}}^2-{\mathrm{a\; ^}}^2+\sqrt{ax}(x-a)}{x-a}=$$

 

$$=\frac{(x+a)(x-a)+\sqrt{ax}(x-a)}{x-a}$$

 

Los factores $(x-a)$

se pueden simplificar:

$$\frac{(x+a)(x-a)+\sqrt{ax}(x-a)}{x-a}=$$

 

$$=\frac{(x+a)+\sqrt{ax}}{1}=$$

 

$$=x+a+\sqrt{ax}$$

 

Por tanto,

$$\frac{x\sqrt{x}-a\sqrt{a}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}=x+a+\sqrt{ax}$$

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