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Racionalizar y simplificar raíces | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS

porCIENCIA PARA TODOS.ORG

Nov 6, 2021
Racionalizar y simplificar raíces | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS

 

 

 


Racionalizar y simplificar raíces | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS

Introducción

En esta página simplificamos expresiones con radicales (raíces), especialmente, fracciones con raíces en el denominador (con la intención de que dejen de estar en el denominador). La mayoría de las raíces tienen parámetros, pero el procedimiento a seguir es el mismo.
El procedimiento de encontrar una fracción equivalente sin raíces en el denominador se denomina racionalizar. La importancia de este procedimiento se hace notar en el cálculo de límites ya que muchas veces permite resolver indeterminaciones.
Emplearemos las propiedades de las potencias (ya que las raíces son potencias). Además, una de las técnicas claves es aplicar el producto notable suma por diferencia.
Los ejercicios pretenden seguir un orden de dificultad creciente. Trabajaremos con raíces de distintos órdenes, raíces anidadas (unas dentro de otras), raíces en el denominador, raíces de sumas de fracciones, productos y cocientes de raíces e incluso raíces de orden fraccionario.

Herramientas

Las herramientas que nos permiten simplificar las raíces y racionalizar son, básicamente, las propiedades de las potencias y los productos notables.
Los productos notables que más utilizaremos son:
  • Cuadrado de la suma:
  • Cuadrado de la resta:
  •  
  • Suma por diferencia:
Recuerda que también una raíz puede escribirse como una potencia:
 
 
 
Y que el producto de raíces del mismo orden es igual a la raíz del producto de sus radicandos:
 
Utilizaremos habitualmente la siguiente igualdad:
 
Es decir, multiplicaremos en el numerador y en el denominador por el mismo factor para obtener una fracción equivalente. Si es escogido adecuadamente el factor
, al calcular el producto desaparecerán las raíces del denominador.
Llamaremos conjugado de la suma
al número (cambiamos el signo) y conjugado de la resta a

 

3. 15 Ejercicios resueltos

 

En todos los ejercicios se considera que los parámetros son siempre positivos.

Los dos primeros ejercicios son de calentamiento.

Ejercicio 1

Calcular el siguiente producto:

suma por diferencia de raíz

Solución

Tenemos un producto notable: suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:

 

 

La raíz cuadrada desaparece al elevarla al cuadrado:

 


Ejercicio 2

Calcular el siguiente producto:

suma por diferencia con tres sumandos y raíz cuadrada

Solución

Podemos agrupar los sumandos del siguiente modo para ver que en realidad tenemos una suma por diferencia

 
 
Por tanto, el producto es la diferencia de los cuadrados:
 
 
La raíz cuadrada ha desaparecido porque está elevada al cuadrado.
Ahora aplicamos la fórmula del cuadrado de la suma:
 
 

En los siguientes 3 ejercicios vamos a racionalizar fracciones simples:

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Ejercicio 3

Racionalizar:
 
Solución

Como tenemos una resta en el denominador, multiplicamos por el conjugado de la resta (el conjungado se calcula cambiando el signo negativo por el positivo):

 
 
En el denominador tenemos una suma por una diferencia. El resultado de esta operación es la diferencia de los cuadrados de los sumandos:
 
 
La raíz desaparece al elevar al cuadrado:
 
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Ejercicio 4

Racionalizar:
 
Solución

La fracción de este ejercicio es como la del ejercicios anterior, pero en lugar de un signo negativo tenemos uno positivo.

Porcedemos del mismo modo (multiplicamos por el conjugado del denominador):

 
 
En el denominador tenemos una suma por una diferencia:
 
 
La raíz desaparece al elevar al cuadrado:
 
 
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Ejercicio 5

Racionalizar la siguiente fracción con parámetros:

cociente de raíces

Solución

Como tenemos una resta en el denominador, multiplicamos por su conjugado:

 
 
 
 
 
La expresión final es un poco más larga que la inicial pero sin raíces en el denominador.

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Ejercicio 6

Racionalizar la siguiente fracción que tiene una resta de raíces en el denominador:

cociente de una raíz y de la resta de dos raíces. En el denominador, los radicandos son uno el conjugado del otro

Solución

Como tenemos una resta en el denominador, multiplicamos por su conjugado:

Ejercicios resueltos paso a paso de simplificar (reducir) expresiones con radicales (raíces) y de racionalizar (eliminar las raíces de los denominadores). Secundaria. ESO. Bachiller. Bachillerato. Álgebra

Las raíces cuadradas que están al cuadrado desaparecen:

Ejercicios resueltos paso a paso de simplificar (reducir) expresiones con radicales (raíces) y de racionalizar (eliminar las raíces de los denominadores). Secundaria. ESO. Bachiller. Bachillerato. Álgebra

El denominador se simplifica fácilmente. En el numerador aplicamos la propiedad el producto de raíces es igual a la raíz del producto de sus radicandos y tenemos una suma por diferencia:

Ejercicios resueltos paso a paso de simplificar (reducir) expresiones con radicales (raíces) y de racionalizar (eliminar las raíces de los denominadores). Secundaria. ESO. Bachiller. Bachillerato. Álgebra


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Ejercicio 7

Sumar las siguientes fracciones y racionalizar el resultado:

Ejercicios resueltos paso a paso de simplificar (reducir) expresiones con radicales (raíces) y de racionalizar (eliminar las raíces de los denominadores). Secundaria. ESO. Bachiller. Bachillerato. Álgebra

Solución

Para poder sumar las fracciones tienen que tener el mismo denominador. Nótese que el denominador de una de ellas es el conjugado de la otra.

El denominador común para poder sumar las fracciones es el producto de los denominadores:

 
Multiplicamos y dividimos cada fracción por el factor que le falta al denominador para que ambas fracciones tengan el denominador común:
 
 
Sumamos las fracciones:
 
Simplificamos el denominador, que es una suma por diferencia
 
 
Y el numerador es
 
 
 
Por tanto,
 
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Ejercicio 8

Racionalizar la siguiente fracción que tiene una raíz cúbica en el denominador:

 

Solución

La raíz del denominador es cúbica y, por tanto, si la multiplicamos ella misma, seguiremos teniendo una raíz en el denominador.

Al igual que las raíces cuadradas desaparecen cuando están al cuadrado, las raíces cúbicas desaparecen cuando están al cubo. Entonces, multiplicamos por la raíz al cuadrado:

 
 
 
Desaparece el signo radical del denominador:
 
Si introducimos el cuadrado dentro de la raíz, el resultado final es
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Ejercicio 9

Racionalizar la siguiente fracción que tiene una raíz séptima en el denominador:
 
Solución

Multiplicamos y dividimos la fracción por la raíz del denominador elevada a la sexta para que desaparezca la raíz del denominador:

 
 
 
Desaparece el signo radical del denominador:
 
 
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Ejercicio 10

Racionalizar la siguiente fracción que tiene una suma de raíces cuartas en el denominador:

cociente con una suma de raíces cuartas en el denominador, con un parámetro distinto en cada radicando

Solución

En los ejercicios anteriores las raíces eran cuadradas y por ello desaparecían al elevarlas al cuadrado. Sin embargo, no ocurre lo mismo cuando las raíces son de otro orden.

En esta fracción, el orden de las raíces es 4, por lo que tendremos que multiplicar por el conjugado dos veces:

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Recuerda que las raíces son potencias con exponente fraccionario. Escribirlas de este modo puede ayudarnos en los cálculos. Si escribimos el cuadrado de raíz cuarta

, tenemos.

 

 

Del mismo modo,

 

Luego la fracción que queda es

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Finalmente, multiplicamos por el conjugado del denominador como en los ejercicios anteriores:

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Ejercicio 11

Racionalizar la siguiente fracción con una diferencia de raíces de distinto orden en el denominador:

fracción con una resta de raíces de distintos órdenes en el denominador

Solución

En esta fracción tenemos una raíz cuarta, así que tendremos que multiplicar dos veces por el conjugado del denominador para hacer que desaparezca:

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En el último paso hemos eliminado la raíz cuadrada porque estaba al cuadrado y la raíz cuarta al cuadrado se ha transformado en una raíz cuadrada. Si no vemos claro este segundo, podemos escribir la operación en forma de potencias:

 

 

Finalmente, multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador:

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Ejercicio 12

Racionalizar la siguiente fracción con raíces de raíces (raíces anidadas):

cociente de raíces de raíces

Solución

Como tenemos raíces de raíces, vamos a simplificar esta fracción escribiendo las raíces en forma de potencias. Recordad las propiedades de las potencias (producto y cociente de potencias y potencia de potencia).

Primero, escribimos las raíces exteriores como potencias con exponente

(porque son raíces cuadradas):

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En el numerador aplicamos la potencia del producto es el producto de las potencias. En el denominador escribimos la raíz cuadrada como un potencia y tenemos una potencia de potencia, por lo que multiplicamos los exponentes:

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Para terminar, como tenemos en el denominador una potencia con base común,

, podemos eliminarla al escribir su exponente restando al exponente de las potencias de

del numerador:

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Ejercicio 13

Simplificar la siguiente raíz cuadrada racionalizando el resultado:

raíz de la suma de dos fracciones con 3 parámetros algunos de los cuales al cuadrado

Solución

Antes de sumar las fracciones podemos extraer los factores comunes:

 

 

Por tanto,

 

 

Hemos extraído de la raíz los factores del radicando que están al cuadrado. Los del numerador al numerador y los del denominador al denominador.


En los siguientes ejercicios se pide simplificar las expresiones al máximo, racionalizando el resultado si es necesario.

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Ejercicio 14

raíz cuadrada de una expresión que es en realidad el desarrollo del binomio (cuadrado de la suma), con lo que la raíz podremos sacar algunos factores fuera de la raíz

Solución

Empezaremos simplificando el radicando extrayendo factores comunes:

 
 
 
El paréntesis es el desarrollo del cuadrado de la suma a + b
 
 
 
Por tanto, la expresión inicial es igual a

 

Hemos extraído de la raíz los factores que estaban al cuadrado.

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Ejercicio 15

producto de tres raíces: raíz cuadrada, raíz cubica y raíz de orden 4 (4-ésima)

Solución
En este problema sólo tenemos que aplicar las propieades de las raíces (potencias):
  1. Escribir las raíces como potencias
  2. Escribir las potencias de los productos (es el producto de las potencias)
  3. Multiplicar las potencias agrupándolas según la base (se suman los exponentes)
Escribimos las raíces como potencias:

 

 

 

 

 

 

Notemos que hemos escrito una a por cada 12 a que hay multiplicando en el radicando (quedan dentro 17 – 12 = 5). Igual para las b.


Ejercicio 16

suma de raíces cuadradas con parámetros

Solución

Vamos a intentar sumar todos los términos.

Notemos que tenemos la suma de tres raíces (en un principio distintas) y cada una tiene un coeficiente (el número que la multiplica).

Para poder agrupar los sumandos necesitamos que todos tengan la misma raíz, así que vamos a reescribirlas:

La primera raíz es

 
Escribimos 8 como una potencia:

 

Recordemos que por cada cuadrado en el radicando podemos extraer una vez la base. Como teníamos 2 3 = 2 2 · 2 1, hemos extraído un 2 desapareciendo el cuadrado y quedando en el radicando 2.

La segunda raíz es

 

Podemos escribir 18 en forma de producto de potencias como 18 = 2·9 = 2·3 2. Por tanto,

 

Notemos que la tercera raíz ya no la podemos simplificar más.

Ahora todos los sumandos tienen la misma raíz, por lo que podemos sumarlos:

 

 

 

 

 

 

 

 


Ejercicio 17

raíz cuadrada del cociente de un cociente. la expresión contiene potencias de 3 parámetros distintos

Solución

Lo primero que haremos es reducir el radicando. Una vez conseguido, escribiremos la raíz cuadrada. Así, será más rápido realizar los cálculos.

El radicando es

 
Antes de todo, diremos que la operación : (división) divide al producto que tiene a su izquierda entre la fracción que tiene a su dercha. No es necesario que haya paréntesis ya que no hay ninguna suma.
Escribimos esta división en forma de fracción ya que normalmente trabajamos más cómodamente con esta notación:
 
 
 
Hemos escrito el numerador de la fracción externa como una fracción para aplicar la ley  del sandwich: pan con pan y queso con queso. Esto quiere decir,
 
Por tanto,
 
 
Simplificamos aplicando las reglas de las potencias (producto y división):
 
 
Por tanto, la expresión inicial (con la raíz) es igual a
 
Ahora escribimos los factores del radicando en forma de potencias para poder extraer algunos:
 
 
 
Notemos que el exponente de cada factor indica el número de potencias al cuadrado que hemos extraído de la raíz cuadrada.
Podemos simplificar la expresión como

 


Ejercicio 18

raíz cuadrada de un producto. uno de los factores es una resta de fracciones con polinomios en el denominador.

Solución

Trateremos de reducir la expresión del radicando sin escribir la raíz cuadrada para no arrastrar dicho símbolo durante las operaciones. Después la volveremos a escribir.

El radicando es el producto:

 
Para poder sumar las fracciones tienen que tener el mismo denominador, pero esto no es así.
En ambos denominadores tenemos el factor (a-x), pero en uno tenemos x2 y en el otro tenemos a2.
Multiplicamos y dividimos ambas cada una de las fracciones por el factor no común del denominador de la otra fracción:
 
 
Ahora ya podemos sumar ambas fracciones obteniendo:
 
El numerador es una diferencia de cuadrados:
 
Entonces la expresión queda como
 
 
 
 
Por tanto, la expresión inicial (con la raíz cuadrada) es igual a
 

 


En los siguientes ejercicios ya no explicaremos todos los pasos.

Ejercicio 19

suma y resta de raíces con parámetros y decimales

Solución

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Ejercicio 20

suma y resta de raíces con distintos ordenes (raíz sexta, raíz cúbica, raíz novena

Solución

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Ejercicio 21

suma y resta de raíces cúbicas con dos parámetros distintos en el radicando

Solución

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Ejercicio 22

suma y resta de raíces de diferentes órdenes (cuadra, cuarta y sexta) y con parámetros en los radicandos

Solución

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Ejercicio 23

suma y resta de 4 raíces de distintos órdenes: cuadradas y cúbicas

Solución

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Ejercicio 24

suma de dos raíces de cocientes con potencias de 3 parámetros distintos

Solución

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Ejercicio 25

suma y resta de raíces de distinto orden con potencias en su radicando

Solución

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Ejercicio 26

suma y resta de raíces cuadradas con fracciones en los radicandos y parámetros

Solución

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Al racionalizar se obtiene

 


Ejercicio 27

suma de raíces de distinto orden con parámetros

Solución

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Ejercicio 28

suma de raíces cuadradas con un gran número de parámetros

Solución

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Ejercicio 29

raíz de orden m-1 de un cociente con una raíz de orden m. Una raíz dentro de otra

Solución

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Ejercicio 30

raíz cuadrada de la raíz cuadra de la raíz cuadrada. Raíces dentro de raíces y con parámetros

Solución

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Ejercicio 31

potencia de la raíz de una raíz de una ráiz. las raíces son de órdenes distintos y tenemos parámetros en el radicando

Solución

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Ejercicio 32

 

Solución

Multiplicamos en el numerador y en el denominador por

:
 
 
 
 
 
Los factores
se pueden simplificar:
 
 
 
Por tanto,

1.racionalización de denominadores
 
2.racionalizar 2/√2
 
3.racionalización ejercicios resueltos
 
4.racionalización de radicales
 
5.calculadora para racionalizar
 
6.racionalización de fracciones
 
7.racionalizar expresiones algebraicas
 
8.simplificar expresiones radicales
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