• mar. Sep 26th, 2023

¬ŅQuien es considerada la persona m√°s inteligente? pon√≠a a Einstein muy nervioso.


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Kurt Gödel.

Einstein se pon√≠a muy nervioso cuando ten√≠a que argumentar delante de √©l y no resistia hablar mucho con Kurt G√∂del, y John Von Neumann, un prodigio de inteligencia fuera de lo com√ļn en toda la historia, consideraba a G√∂del como lo m√°s parecido a la perfecci√≥n en un ejemplar de la raza humana.

En Los √Ālamos, los genios del proyecto Manhattan a G√∂del le ten√≠an hasta miedo, porque lo ve√≠an como un pozo sin fondo, y desde luego su capacidad triplicaba la de muchos premios Nobel.

Es muy emocionante el libro ‚ÄúAventuras de un matem√°tico‚ÄĚ del genio absoluto Stanislaw Ulam, el matem√°tico polaco ‚Äútod√≥logo‚ÄĚ, al que llamaban cuando no sab√≠an a qu√© √°rea pertenec√≠a un problema, y que trabaj√≥ en Los √Ālamos con Von Neumann en el proyecto Manhattan; ah√≠ Ulam habla de G√∂del con verdadera reverencia a su talento y formidable capacidad intelectual.

Obra en Viena

En 1931 G√∂del public√≥ sus c√©lebres teoremas de la incompletud en √úber formal unentscheidbare S√§tze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados). En dicho art√≠culo demostr√≥ que para todo sistema axiom√°tico computable que sea lo suficientemente poderoso como para describir la aritm√©tica de los n√ļmeros naturales (e.g. los axiomas de Peano (o ZFC), entonces:

  1. Si el sistema es coherente no puede ser completo. (A esto generalmente se le conoce como el teorema de la incompletud).
  2. La consistencia de los axiomas no puede demostrarse en el interior del sistema.

Estos teoremas finalizaron medio siglo de intentos académicos (comenzando con el trabajo de Frege y culminando en los Principia Mathematica y en el formalismo de Hilbert) por encontrar un conjunto de axiomas suficiente para toda la matemática. El teorema de la incompletud implica también que no toda la matemática es computable.

La idea b√°sica del teorema de la incompletud es bastante simple. Esencialmente, G√∂del construy√≥ una f√≥rmula que asegura ser no-demostrable para cierto sistema formal. Si fuera demostrable ser√≠a falsa, lo cual contradice el hecho de que en un sistema consistente las proposiciones demostrables son siempre verdaderas. De modo que siempre habr√° por lo menos una proposici√≥n verdadera pero no demostrable. Esto es, para todo conjunto de axiomas de la aritm√©tica construible por el hombre existe una f√≥rmula que se obtiene de la aritm√©tica pero es indemostrable en ese sistema. Sin embargo, para precisar esto G√∂del necesitaba resolver varias cuestiones t√©cnicas, tales como proposiciones de codificaci√≥n y el concepto mismo de demostrabilidad en la teor√≠a de los n√ļmeros naturales. Esto √ļltimo lo realiz√≥ mediante un proceso denominado numeraci√≥n de G√∂del.

En su ensayo de dos p√°ginas Zum intuitionistischen Aussagenkalk√ľl (1932) G√∂del refut√≥ la ‚Äúvaluabilidad‚ÄĚ finita de la l√≥gica intuicionista. En la demostraci√≥n emple√≥ impl√≠citamente lo que despu√©s se conoci√≥ como la l√≥gica intermedia de G√∂del‚ÄďDummett (o G√∂del fuzzy logic).

G√∂del recibi√≥ su habilitaci√≥n en la Universidad de Viena en 1932, y en 1933 se convirti√≥ en Privatdozent (permiso para ense√Īar y examinar de forma independiente en la universidad).

Fuentes primarias:

  • G√∂del, Kurt 1931 Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia mathematica y sistemas afines. Valencia: Teorema, 1980 y 2.¬™ edici√≥n: 1981 ISBN 84-370-0168-4
  • G√∂del, Kurt 1931 Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia mathematica y sistemas afines. Oviedo: krk ediciones, 2006. ISBN 978-84-96476-95-0
  • G√∂del, Kurt 1994: Ensayos in√©ditos. Francisco Rodr√≠guez Consuegra, editor. Biblioteca Mondadori. ISBN 84-397-1966-3
  • G√∂del, Kurt 2007: Sobre consistencia y completud en el sistema axiom√°tico / √úber Widerspruchsfreiheit und Entscheidbarkeit in Axiomensystem. Jes√ļs Padilla G√°lvez, editor y traductor, Mathesis, Serie III, Vol. II – Nr 1, 197-204. (ISSN: 0185-6200).
  • G√∂del, Kurt 2006: Obras completas, Jes√ļs Moster√≠n, editor, Madrid: Alianza, 2006. ISBN 84-206-4773-X
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