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Kurt Gödel.
Einstein se ponía muy nervioso cuando tenía que argumentar delante de él y no resistia hablar mucho con Kurt Gödel, y John Von Neumann, un prodigio de inteligencia fuera de lo común en toda la historia, consideraba a Gödel como lo más parecido a la perfección en un ejemplar de la raza humana.
En Los Álamos, los genios del proyecto Manhattan a Gödel le tenían hasta miedo, porque lo veían como un pozo sin fondo, y desde luego su capacidad triplicaba la de muchos premios Nobel.
Es muy emocionante el libro “Aventuras de un matemático” del genio absoluto Stanislaw Ulam, el matemático polaco “todólogo”, al que llamaban cuando no sabían a qué área pertenecía un problema, y que trabajó en Los Álamos con Von Neumann en el proyecto Manhattan; ahí Ulam habla de Gödel con verdadera reverencia a su talento y formidable capacidad intelectual.
Obra en Viena
En 1931 Gödel publicó sus célebres teoremas de la incompletud en Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados). En dicho artículo demostró que para todo sistema axiomático computable que sea lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (e.g. los axiomas de Peano (o ZFC), entonces:
- Si el sistema es coherente no puede ser completo. (A esto generalmente se le conoce como el teorema de la incompletud).
- La consistencia de los axiomas no puede demostrarse en el interior del sistema.
Estos teoremas finalizaron medio siglo de intentos académicos (comenzando con el trabajo de Frege y culminando en los Principia Mathematica y en el formalismo de Hilbert) por encontrar un conjunto de axiomas suficiente para toda la matemática. El teorema de la incompletud implica también que no toda la matemática es computable.
La idea básica del teorema de la incompletud es bastante simple. Esencialmente, Gödel construyó una fórmula que asegura ser no-demostrable para cierto sistema formal. Si fuera demostrable sería falsa, lo cual contradice el hecho de que en un sistema consistente las proposiciones demostrables son siempre verdaderas. De modo que siempre habrá por lo menos una proposición verdadera pero no demostrable. Esto es, para todo conjunto de axiomas de la aritmética construible por el hombre existe una fórmula que se obtiene de la aritmética pero es indemostrable en ese sistema. Sin embargo, para precisar esto Gödel necesitaba resolver varias cuestiones técnicas, tales como proposiciones de codificación y el concepto mismo de demostrabilidad en la teoría de los números naturales. Esto último lo realizó mediante un proceso denominado numeración de Gödel.
En su ensayo de dos páginas Zum intuitionistischen Aussagenkalkül (1932) Gödel refutó la “valuabilidad” finita de la lógica intuicionista. En la demostración empleó implícitamente lo que después se conoció como la lógica intermedia de Gödel–Dummett (o Gödel fuzzy logic).
Gödel recibió su habilitación en la Universidad de Viena en 1932, y en 1933 se convirtió en Privatdozent (permiso para enseñar y examinar de forma independiente en la universidad).
Fuentes primarias:
- Gödel, Kurt 1931 Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia mathematica y sistemas afines. Valencia: Teorema, 1980 y 2.ª edición: 1981 ISBN 84-370-0168-4
- Gödel, Kurt 1931 Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia mathematica y sistemas afines. Oviedo: krk ediciones, 2006. ISBN 978-84-96476-95-0
- Gödel, Kurt 1994: Ensayos inéditos. Francisco Rodríguez Consuegra, editor. Biblioteca Mondadori. ISBN 84-397-1966-3
- Gödel, Kurt 2007: Sobre consistencia y completud en el sistema axiomático / Über Widerspruchsfreiheit und Entscheidbarkeit in Axiomensystem. Jesús Padilla Gálvez, editor y traductor, Mathesis, Serie III, Vol. II – Nr 1, 197-204. (ISSN: 0185-6200).
- Gödel, Kurt 2006: Obras completas, Jesús Mosterín, editor, Madrid: Alianza, 2006. ISBN 84-206-4773-X
