PRODUCTOS NOTABLES I

PRODUCTOS NOTABLES

Los productos notables son productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Estas operaciones son fáciles de recordar sin necesidad de efectuar la multiplicación correspondiente.

1. Cuadrado de la suma de dos cantidades

negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2

Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya suma está elevada al cuadrado, lo que realmente se pide es que se multiplique la suma por si misma:

negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho

Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:

negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita a negrita por negrita a negrita más negrita a negrita por negrita b negrita más negrita b negrita por negrita a negrita más negrita b negrita por negrita b negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita ab negrita más negrita b elevado a negrita 2

Regla del cuadrado de la suma de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Representación gráfica del cuadrado de la suma de dos cantidades

productos notables cuadrado de una suma
El cuadrado de la suma de a y b se representa como un cuadrado compuesto por los cuadrados de a y de b y dos rectángulos cuyos lados son a y b.

Podemos representar gráficamente el cuadrado de la suma de dos cantidades cuando los valores son positivos. Así, la suma de dos cantidades positivas al cuadrado será igual a la suma de:

  • un cuadrado con sus lados iguales a la primera cantidad;
  • un cuadrado con sus lados iguales a la segunda cantidad, y
  • dos rectángulos cuyos lados son iguales a la primera y la segundad cantidad.

Como podemos ver, el cuadrado resultante tendrá un área igual a (a+b) por (a+b)(a+b)2

Ejemplos con solución paso a paso

1) Desarrolle (x+10)2.

  • Cuadrado del primer término: x2.
  • Dos veces el primero por el segundo: 2(x)(10)=20x.
  • Cuadrado del segundo término: 102=100.

Respuesta:

negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 10 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 20 negrita x negrita más negrita 100

2) Desarrolle (7a2+5x3)2.

  • Cuadrado del primer término: 72(a2)2=49a4.
  • Dos veces el primero por el segundo: 2(7a2)(5x3)= 70a2x3.
  • Cuadrado del segundo término: (5)2(x3)2=25x6.

Respuesta:

negrita paréntesis izquierdo negrita 7 negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 5 negrita x elevado a negrita 3 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita 49 negrita a elevado a negrita 4 negrita más negrita 70 negrita a elevado a negrita 2 negrita x elevado a negrita 3 negrita más negrita 25 negrita x elevado a negrita 6

2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2

Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya resta está elevada al cuadrado, lo que realmente se pide es que se multiplique la resta por si misma:

negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho

Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:

negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita a negrita por negrita a negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita ab negrita más negrita b elevado a negrita 2

Recordemos que dos números negativos cuando se multiplican, el signo resultante es positivo:

negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita b elevado a negrita 2

Regla del cuadrado de la resta de dos cantidades

El cuadrado de la resta de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos dos veces el primer término por el segundo término, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplos con solución paso a paso

1) Desarrolle (x-10)2.

  • Cuadrado del primer término: x2.
  • Menos dos veces el primero por el segundo:- 2(x.10)=-20x.
  • Cuadrado del segundo término: 102=100

Respuesta:

negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 10 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 20 negrita x negrita más negrita 100

2) Desarrolle (7a2-5x3)2.

  • Cuadrado del primer término: 72(a2)2=49a4.
  • Menos dos veces el primero por el segundo: -2(7a2)(5x3)= -70a2x3.
  • Cuadrado del segundo término: (5)2(x3)2=25x9.

Respuesta:

negrita paréntesis izquierdo negrita 7 negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita 5 negrita x elevado a negrita 3 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita 49 negrita a elevado a negrita 4 negrita menos negrita 70 negrita a elevado a negrita 2 negrita x elevado a negrita 3 negrita más negrita 25 negrita x elevado a negrita 6

3. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios conjugados)

negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho

En este caso, la multiplicación se realiza de la siguiente forma;

negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita a negrita por negrita a negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita ab negrita más negrita ab negrita menos negrita b elevado a negrita 2 negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita b elevado a negrita 2

Regla del producto de la suma por la resta de dos cantidades

La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

Ejemplos con solución paso a paso

1) Desarrolle (x+1)(x-1).

  • Cuadrado del minuendo: x2.
  • Menos el cuadrado del sustraendo: -(12)=-1

Respuesta:

negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 1 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 1

2) Desarrolle (5a+3a2)(3a2-5a).

  • Cuadrado del minuendo: (3a2)2=9a4
  • Menos el cuadrado del sustraendo: -(52a2)=-25a2

Respuesta:

negrita paréntesis izquierdo negrita 5 negrita a negrita más negrita 3 negrita a elevado a negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita 3 negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita 5 negrita a negrita paréntesis derecho negrita igual negrita 9 negrita a elevado a negrita 4 negrita menos negrita 25 negrita a elevado a negrita 2

4. Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a+b-c)

Este producto lo podemos transformar en la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia:

negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita menos negrita c negrita paréntesis derecho negrita igual negrita corchete izquierdo negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita c negrita corchete derecho negrita corchete izquierdo negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita menos negrita c negrita corchete derecho negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita menos negrita c elevado a negrita 2 negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita ab negrita más negrita b elevado a negrita 2 negrita menos negrita c elevado a negrita 2

Ejemplos de multiplicación de trinomios

1) Desarrolle (x+y-2)(x+y+2).

negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita y negrita menos negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita y negrita más negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita corchete izquierdo negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita y negrita paréntesis derecho negrita menos negrita 2 negrita corchete derecho negrita corchete izquierdo negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita y negrita paréntesis derecho negrita más negrita 2 negrita corchete derecho negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita y negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 elevado a negrita 2 negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita xy negrita más negrita y elevado a negrita 2 negrita menos negrita 4

2) Desarrolle (a2-2a+3)(a2+2a+3).

negrita paréntesis izquierdo negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita a negrita más negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita a negrita más negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita corchete izquierdo negrita paréntesis izquierdo negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita menos negrita 2 negrita a negrita corchete derecho negrita corchete izquierdo negrita paréntesis izquierdo negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita más negrita 2 negrita a negrita corchete derecho negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 3 negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita 2 negrita a negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita a elevado a negrita 4 negrita más negrita 6 negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 9 negrita menos negrita 4 negrita a elevado a negrita 2

 


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