La Transformada de Laplace | Curso de Ecuaciones diferenciales
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Definición y propiedades básicas.
Para poder comprender la Transformada de Laplace, primero debemos revisar la definición general de la transformada integral, la cuál adapta la siguiente forma:
T(f(t))=∫βαK(s,t) f(t) dt=F(s)
En este caso, f(t) es la función que queremos transformar, y F(s) es la función transformada. Los límites de la integración, α y β, pueden ser cualquier valor entre −∞ y +∞ y K(s,t) es lo que se conoce como el núcleo o kernel de la transformada, y podemos elegir el kernel que nos plazca. La idea es poder elegir un kernel que nos dé la oportunidad de simplificar la Ecuación diferencial con mayor facilidad. La Transformada de Laplace | Curso de Ecuaciones diferenciales
Si nos restringimos a Ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, entonces un kernel que resulta realmente útil es e−st , ya que al diferenciar este kernel con respecto de t, terminamos obteniendo potencias de s , que podemos equiparar a los coeficientes constantes. De esta forma, podemos arribar a la definición de la Transformada de Laplace:
L{f(t)}=∫∞0e−st f(t) dt
Tengan en cuenta, que además de usar el kernel e−st , los límites de la integración van desde 0 a ∞, ya que valores negativos de t harían divergir la integral.
Propiedades de las transformadas de Laplace
1.Las Transformadas de Laplace poseen algunas propiedades que también nos van a facilitar el trabajo de resolverlas, algunas de ellas son:
La Transformada de Laplace es un operador lineal: Esta propiedad nos dice la Transformada de Laplace de una suma, es igual a la suma de las Transformadas de Laplace de cada uno de los términos. Es decir:
L{c1f1(t)+c2f2(t)}=c1L{f1(t)}+c2L{f2(t)}
La Transformada de Laplace de la primer derivada: Esta propiedad nos dice que si f(t)
es continua y f′(t) es continua en el intervalo 0≤t≤α
Entonces la Transformada de Laplace de la primer derivada es:
L{f′(t)}=sL{f(t)}−f(0)
La Transformada de Laplace de derivadas de orden superior: Esta propiedad es la generalización de la propiedad anterior para derivadas de orden n. Su formula es:
L{f(n)(t)}=snL{f(t)}−sn−1f(0)−⋯−f(n−1)(0)=snL{f(t)}−∑i=1nsn−if(i−1)(0)
Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales lineales.
1.La principal ventaja de utilizar Transformadas de Laplace es que cambia la Ecuación diferencial en una ecuación algebraica, lo que simplifica el proceso para calcular su solución.
La única parte complicada es encontrar las transformaciones y las inversas de las transformaciones de los varios términos de la Ecuación diferencial que queramos resolver. Veamos entonces como Python y SymPy nos ayudan a resolver Ecuaciones diferenciales utilizando las Transformadas de Laplace. Vamos a intentar resolver la siguiente ecuación:
y′′+3y′+2y=0
Con las siguientes condiciones iniciales: y(0)=2
y y′(0)=−3
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