LA RECTA | MATEMÁTICAS

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Tabla de contenidos
  1. LA RECTA | MATEMÁTICAS
  2. Distancia entre dos puntos
  3. Ejemplo de cómo calcular la distancia entre dos puntos
  4. Coordenadas de un punto que divide a un segmento de acuerdocon una razón dada.
  5. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.
  6. Distancia de un punto a una recta.
  7. Ejemplo de cómo calcular la distancia entre un punto y una recta
  8. Ecuaciones de las medianas, mediatrices y alturas de un triángulo 
  9. Puntos de intersección (ortocentro, circuncentro y baricentro).

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PREGUNTAS FRECUENTES de LA RECTA

Algunas de las características de la recta son las siguientes: La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos. La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría euclidiana.
 
La forma pendiente-ordenada al origen es y=mx+b, donde m es la pendiente y b la ordenada al origen. Podemos usar esta forma de una ecuación lineal para dibujar la gráfica de esa ecuación en el plano coordenado x-y.

Distancia entre dos puntos

Fórmula de la distancia entre dos puntos (geometría)

En esta página encontrarás cómo se calcula la distancia entre dos puntos en geometría (fórmula). También podrás ver ejemplos y, además, practicar con ejercicios resueltos de la distancia entre dos puntos.

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¿Cuál es la fórmula de la distancia entre dos puntos?

La distancia entre dos puntos es igual a la longitud del segmento que los une. Por lo tanto, en matemáticas, para determinar la distancia entre dos puntos diferentes se deben calcular los cuadrados de las diferencias entre sus coordenadas y luego hallar la raíz de la suma de dichos cuadrados.

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Es decir, la fórmula que sirve para calcular qué distancia hay entre dos puntos diferentes en el plano cartesiano es la siguiente:

Dadas las coordenadas de dos puntos distintos:

A(x_1,y_1) \qquad \qquad B(x_2,y_2)

La fórmula de la distancia entre dos puntos es:

d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}}

Esta fórmula proviene del módulo de un vector. De hecho, lo que estamos haciendo con está fórmula en realidad es calcular el módulo del vector que queda determinado por los dos puntos en cuestión. Puedes saber más al respecto en la explicación de cuál es el módulo de un vector.

Por otro lado, en geometría analítica la demostración de la fórmula de la distancia entre dos puntos también se puede hacer a partir del teorema de Pitágoras:

El teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es equivalente a la suma de los cuadrados de sus catetos, por lo tanto:

\bigl(d(A,B)\bigr)^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2

Y para obtener la fórmula solo tenemos que despejar la distancia entre los 2 puntos:

d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}}

Finalmente, cabe destacar que, si estuviéramos trabajando con puntos de 3 coordenadas, la fórmula de la distancia entre dos puntos en el espacio (en R3) sería la misma pero añadiendo la coordenada Z:

d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}}

Ejemplo de cómo calcular la distancia entre dos puntos

Una vez hemos visto la definición de la fórmula de la distancia entre dos puntos, veamos ahora cómo determinar dicha distancia mediante un ejemplo:

  • Halla la distancia entre los siguientes dos puntos:

A(-1,7) \qquad \qquad B(3,4)

Para hallar la distancia entre los dos puntos geométricamente simplemente debemos aplicar la fórmula:

d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}}

Ahora sustituimos las coordenadas de los puntos en la fórmula:

d(A,B) = \sqrt{(3-(-1))^2+(4-7)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}}

Y hacemos los cálculos:

\begin{aligned} d(A,B)  &= \sqrt{(3+1)^2+(4-7)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}} \\[2ex] &= \sqrt{4^2+(-3)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}} \\[2ex] &= \sqrt{16+9}\\[2ex] &= \sqrt{25}\\[2ex] & = \bm{5}\end{aligned}

De modo que la distancia entre los dos puntos es igual a 5 unidades.

Evidentemente, el valor de la distancia siempre nos tiene que dar de signo positivo, porque las distancias siempre son positivas. De lo contrario, significa que nos hemos equivocado en algún paso.

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Coordenadas de un punto que divide a un segmento de acuerdo
con una razón dada.

Razon dada5

Analiza la siguiente información:

Este tema en especial, requiere para su mejor comprensión, aclarar a qué nos referimos cuando decimos «divide un segmento en una razón dada». Para dejar claro esto, veremos cuáles son los enfoques que podemos rescatar de los libros de texto:

Observación 1.  Como una proporción:

Bajo este enfoque tenemos que asumir que la relación que nos presentan es una escala comparativa y no una relación. Así, la relación escrita como 2:4, indebidamente se escribe \frac{1}{2} pues uno pensaría, haciendo un poco de aritmética, lo siguiente:

2:4   =  \frac{2}{4} = 0.5 es decir, un punto medio

sin embargo, vemos que en realidad lo que se está representando, de manera gráfica es:

proporcion

Es decir, un segmento dividido en dos segmentos distintos en donde el primero, tiene una magnitud de 2 y el segundo, una magnitud de 4, y evidentemente el punto que se forma (Punto C), no es la mitad. La forma en que se deduce la fórmula para determinar las coordenadas del punto C, es decir la razón r siguiente:

Primero, definimos las coordenadas de los puntos tal que:  A({x}_1, {y}_1), \;   B({x}_2, {y}_2), \; C({x}_r , {y}_r)

Así, para calcular el valor de {x}_r, dividimos la distancia de AC entre CB: r = \frac{AC}{CB}= \frac{{X}_r - {X}_1}{{X}_2 - {X}_r} , por lo que, al despejar obtenemos:

{x}_r = \frac{r{x}_2 + {x}_1}{1 + r}

De forma análoga, el valor de {y}_r  se obtiene:

{y}_r = \frac{r{y}_2 + {y}_1}{1 + r}

Probando las fórmulas con el ejemplo de la gráfica anterior tenemos:

Puesto que la abscisa o equis es la única que varía, calculamos:

El valor de r  quedaría así:   r=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

{x}_r = \frac{\frac{1}{2}*7+1}{1+\frac{1}{2}}= \frac{\frac{9}{2}}{\frac{3}{2}}=3

Por tanto, el punto tendría coordenadas P(3, 2) tal y como puede verse en la figura anterior

Enfoque 2. Como una relación:

En esta forma de cortar el segmento, la relación se debe interpretar aritméticamente como una división, en donde el numerador expresa la porción del segmento cortado y el denominador el total del segmento; así  r=\frac{3}{4} significa que se está cortando el segmento en cuatro partes, y el punto que divide en esa razón, equivale a 3 de las 4 partes.

Como puede verse, este razonamiento implica conocer previamente a partir de cuál punto se está haciendo el corte, es decir la dirección o vector pues  para efectos del valor de r a utilizar, necesitamos un punto de referencia, pues siempre se pone el punto 1 a la izquierda y el punto 2 a la derecha. Veamos cómo se deduce la fórmula para este caso:

Razon dada1

 

Razon dada2 Para calcular el valor de x tenemos:

Razon dada3

Por simple despeje se obtiene:

Razon dada4

Para demostrar lo anterior, usaremos los datos que se ven en la gráfica:

{P}_1(1, 1)     {P}_2(6, 4)    r=\frac{2}{3}

{x}_r=\frac{2}{3}(6-1)+1 = \frac{10}{3}+1 = \frac{13}{3} = 4.33

{y}_r=\frac{2}{3}(4-1)+1 = \frac{6}{3}+1 = \frac{9}{3} = 3

Lo cual queda demostrado gráfica y analíticamente

Observa que el corte considera el inicio de a partir del punto 1, por lo que, si deseamos invertir el punto solo cambiamos la relación. Es decir que, si los dos tercios los queremos establecer desde el punto 2, entonces el valor de la razón tendría que cambiarse a r=\frac{1}{3}

Un detalle interesante de este enfoque es que, si se quisiera obtener las coordenadas del punto que corta en la proporción 2:4 del problema anterior, bastaría convertir la proporción en una relación. Para este caso, se puede ver que el segmento total son 6 partes= 2+4, por tanto, el punto donde corta es 2 de 6; o sea que ahora el valor de r sería

r= \frac{2}{6}= \frac{1}{3}  y las coordenadas serían:

{x}_r=\frac{1}{3}(7-1)+1 = \frac{6}{3}+1 = 2+1 = 3

Puesto que la no varía, entonces el punto de corte es:  P(3, 1)

1.Pendiente de una recta.

Fórmula para la pendiente de una recta

La fórmula de la pendiente es derivada usando las coordenadas de dos puntos que se ubican en la recta. Entonces, encontramos la pendiente de una recta al formar una fracción, en donde el numerador es igual a la diferencia de las coordenadas en y y el denominador es igual a la diferencia de las coordenadas en x. Es decir, si es que tenemos los puntos A=(x_{1}, y_{1}) y B=(x_{2}, y_{2}), la fórmula de la pendiente es:

Fórmula de la pendiente

m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

2.Pendiente de una recta horizontal

La pendiente de una recta horizontal puede ser encontrada aplicando la fórmula de la pendiente teniendo en cuenta que las coordenadas en y de todos los puntos que se ubican en una recta horizontal son las mismas. Entonces, tenemos:

m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

=\frac{0}{x_{2}-x_{1}}

m=0

Esto significa que la pendiente de todas las rectas horizontales es igual a 0.

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3.Pendiente de una recta vertical

Las líneas verticales no tienen pendiente ya que no podemos definir a la inclinación de líneas verticales de forma numérica. Esto se debe a que las coordenadas x de todos los puntos en una línea vertical son las mismas. Entonces, cuando aplicamos la fórmula de la pendiente con líneas verticales, tenemos:

m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

=\frac{y_{2}-y_{1}}{0}

Sabemos que la división por 0 es indefinida.

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4.Pendiente de líneas paralelas

Consideremos las siguientes dos líneas paralelas, l_{1} y l_{2}, las cuales tienen las inclinaciones α y β. Para que las líneas sean paralelas, las inclinaciones deben ser las mismas. Esto significa que tenemos α = β.

diagrama de líneas paralelas

Entonces, dos líneas paralelas siempre tienen la misma pendiente. Por lo tanto, si es que queremos determinar si es que dos o más líneas son paralelas, tenemos que asegurarnos de que sus pendientes sean las mismas.

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5.Pendiente de líneas perpendiculares

En el siguiente diagrama, tenemos las líneas l_{1} y l_{2}, las cuales tienen las inclinaciones α y β:

diagrama de líneas perpendiculares

Si es que estas líneas son perpendiculares, podemos decir que β=α+90°. Además, podemos escribir a las pendientes de la siguiente manera:

m_{1}=\tan(\alpha +90^{\circ}) y m_{2}=\tan(\alpha)

⇒  m_{1}=-\cot(\alpha)=m_{1}=-\frac{1}{\tan(\alpha)}=-\frac{1}{m_{2}}

⇒  m_{1}=-\frac{1}{m_{2}}

⇒  m_{1}\times {m_{2}}=-1

Entonces, para que dos líneas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a -1. Alternativamente, podemos pensar en que dos líneas perpendiculares tienen pendientes que son el recíproco negativo la una de la otra.

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6.Pendiente de una recta ejercicios resueltos

Los siguientes ejercicios son resueltos usando la fórmula de la pendiente de una recta. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.

7.Formas de la ecuación de la recta y su gráfica.

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8.Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y - y_1 = m (x - x_1):

y - b = m (x - 0)\!

y - b = m x \!

y = m x + b \!

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b.

9.Forma segmentaria de la ecuación de la recta (ecuación simétrica)

Recta que corta el eje ordenado en b y la abscisa en a.

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \!.
Demostración

Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos a y b (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:

 (0, b)\! y (a, 0)\!

Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

m = \left( \frac{0 - b}{a - 0} \right) = \frac{-b}{a}

Después se sustituye en la ecuación y - y_1 = m (x - x_1), usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):

 ay = - bx + ab\!

 bx + ay = ab\!

y dividinedo toda la ecuación entre el término independiente ab:

\frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} = \frac{ab}{ab}\!

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \!

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes.

1.Ecuación general de la recta

Es la expresión Ax + By + C = 0, -A/B representa la pendiente y -C/B señala la ordenada en el origen cuando B sea diferente a cero. Datos suficientes para representar cualquier recta en el plano cartesiano XOY.

2.Ecuación normal de la recta (primera forma)

La forma normal de la recta (Ecuación de Hesse):

x \ cos\omega + y \ sen\omega - d = 0 \!

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo entre la perpendicular a la recta y la parte positiva del eje de ordenadas.

Si en lugar del ángulo de la normal ω se emplea el ángulo de la recta α, entre la recta y el eje de las ordenadas:

x \ sen\alpha - y \ cos\alpha + d = 0 \!

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo alfa α es el ángulo entre la recta y la parte positiva del eje de ordenadas, cuya tangente expresa el valor de la pendiente de la recta.

Demostración

Para obtener dicha ecuación a partir de una ecuación de la forma Ax + By + C = 0 \!, primero se ha de calcular:

\lambda = \sqrt{A^2 + B^2}

al dividir los parámetros de la ecuación por \lambda se obtiene que cos\omega=\frac{A}{\lambda} y sen\omega=\frac{B}{\lambda}. Finalmente  -d=\frac{C}{\lambda} sin excepción.

3.Ecuación normal de la recta (segunda forma)

\frac{Ax+By+C}{\sqrt{A^2 + B^2}}=0

Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.

Rectas que pasan por un punto

 
Rectas que pasan por el punto: (2,4).

Para determinar las rectas del plano que pasan por el punto P=(x_0, y_0) \, se usa la ecuación

y = m (x- x_0) + y_0 \, donde m toma cualquier valor real.
Demostración

La ecuación de la recta ha de ser:

y = m x + b \,

Y ha de pasar por el punto (x_0, y_0) \,, luego tendrá que cumplirse:

y_0 = m x_0 + b \,

Despejando b, tenemos esta ecuación:

 b= y_0 - m x_0 \,

Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:

y = m x + (y_0 - m x_0) \,

Ordenando términos:

y = m (x- x_0) + y_0 \,

Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto  (x_0, y_0) , el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz a excepción de la recta vertical por dicho punto.

Recta que pasa por dos puntos

Si pasa por dos puntos  (x_1, y_1) y  (x_2, y_2) , la ecuación de la recta puede expresarse como:

    y =    \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \; (x - x_1) + y_1
Demostración

Han de cumplir la fórmula general  y = m x + b \, , resultando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas m y b:

 y_{1} = m x_{1} + b \,
 y_{2} = m x_{2} + b \,

eliminamos la incógnita b, despejando en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda:

b = y_1 - m x_1  \,
y_2 = m x_2 + (y_1 - m x_1) \,

agrupando términos:

y_2 - y_1 = m (x_2 - x_1) \,

despejando m:

m= \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \,

este valor, m, es el de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos:  (x_1, y_1) y  (x_2, y_2) . Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:

b = y_1 - m x_1 \,

y sustituyendo m, por su valor ya calculado;

b = y_1 - \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \; x_1 \,

Tenemos las dos incógnitas m y b despejadas, en función de las coordenadas de los dos puntos por los que tienen que pasar, entonces la ecuación general de la recta, con los parámetros ya calculados es:

    y =    \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \; x + y_1 - \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \; x_1

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.

Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales: R1R2 ⇒ m1 = m2 Desde luego, podemos también afirmar que si las pendientes de dos rectas son iguales, entonces los ángulos que forman con la dirección positiva del eje de las abscisas son iguales, y por lo tanto las rectas son paralelas: m1 = m2 ⇒ R1 R2

Dos rectas son perpendiculares si y sólo si sus pendientes son inversas multiplicativas y de signo contrario

sus pendientes reciprocas y de signo contrario: R3R4 ⇒ m3 =-1/ m4 

Distancia de un punto a una recta.

Fórmula de la distancia entre un punto y una recta

La distancia entre un punto y una recta es la distancia más corta que existe entre ese punto y la recta. Matemáticamente, esta distancia mínima es equivalente a la longitud del segmento trazado desde el punto hasta la recta y que es perpendicular a la recta.

Una vez visto el concepto geométrico de distancia entre un punto y una recta, veamos cuál es la fórmula que sirve para calcular dicha distancia:

Dadas la ecuación implícita (o general) de una recta y las coordenadas de un punto cualquiera en un plano:

r: \ Ax+By+C=0 \qquad \qquad P(p_x,p_y)

La fórmula de la distancia entre un punto y una recta es:

d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}

Ejemplo de cómo calcular la distancia entre un punto y una recta

A continuación puedes ver un ejemplo de cómo se calcula la distancia entre un punto y una recta:

  • Halla la distancia entre el punto P y la recta r:

P(2,-1) \qquad \qquad r: \ 3x+4y-5=0

Para calcular la distancia entre el punto y la recta, simplemente debemos aplicar su fórmula:

d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}

Ahora sustituimos cada término por su valor:

d(P,r)= \cfrac{\lvert 3\cdot 2 + 4\cdot (-1)-5\rvert}{\sqrt{3^2+4^2}}

Y finalmente calculamos la distancia:

d(P,r)= \cfrac{\lvert 6 -4-5\rvert}{\sqrt{9+16}} =\cfrac{\lvert -3 \rvert}{\sqrt{25}} = \mathbf{\cfrac{3}{5}}


Ecuaciones de las medianas, mediatrices y alturas de un triángulo 

Puntos de intersección (ortocentro, circuncentro y baricentro).

Rectas y puntos notables de un triángulo.

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados).

Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. En los triángulos se puede denotar un grupo de rectas y puntos muy importantes.

Entre las rectas notables más conocidas de un triángulo se pueden nombrar las mediatrices, las medianas, las alturas y las bisectrices; cada una de estas rectas notables determina cierto punto notable: circuncentro, baricentro, ortocentro e incentro, respectivamente.

Mediatriz:

Conjunto de puntos del plano que equidistan de los puntos extremos de un segmento. Como consecuencia la mediatriz biseca perpendicularmente al segmento. En un triángulo, las tres mediatrices de sus lados concurren en un punto que equidista de los vértices del triángulo. El punto en el que se cortan las mediatrices de un triángulo, se conoce como circuncentro, o sea, el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo de referencia.

Mediana:

La mediana es el segmento de recta que se traza desde un vértice de un triángulo al punto medio de su lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto que se conoce como baricentro o centro de gravedad. Las medianas se cortan siempre en un punto interior al triángulo.

Altura:

Se llama altura de un triángulo al segmento de perpendicular trazada por un vértice del triángulo y comprendido entre ese vértice y su lado opuesto. Las alturas de un triángulo concurren en un punto denominado ortocentro del triángulo.

Bisectriz de un ángulo:

Es el conjunto de puntos del plano donde está contenido el ángulo que equidista de los lados del ángulo. Como consecuencia la bisectriz de un ángulo lo divide en dos ángulos de igual amplitud. Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo concurren en un punto que equidista de los lados del triángulo, llamado incentro del triángulo o centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y siempre es interior al triángulo. 

BARICENTRO

Es el punto donde se cortan las tres Medianas de un triángulo.

Las Medianas son rectas que pasan por un vértice del triángulo y por el punto medio del lado opuesto. El punto de intersección de las tres Medianas, se llama Baricentro, siendo el centro de gravedad del triángulo. Quiere esto decir, que si tenemos una placa triangular sólida, y construimos el Baricentro, esta placa se mantendría en equilibrio, si la sostenemos con un dedo puesto en ese punto.

Este punto se encuentra a un tercio de la base y dos tercios del vértice; claro en la zona de más masa. Siempre dentro del triángulo.

La construcción gráfica del Baricentro es fácil. Hallamos los puntos medios de los lados del triángulo, y los unimos con los vértices opuestos, cortándose en el Baricentro.

Veamos la localizaciión analíticamente.

Una vez que tracemos una de las Medianas, vemos que es una recta que pasa por dos puntos, el vértice y el punto medio del lado opuesto al vértice. Por tanto, podemos hallar su ecuación. Procedemos de igual modo, con la ecuación de otra de las Medianas. Y ya con sólo estas dos ecuaciones, resolviendo el sistema, nos sale el Baricentro.

ORTOCENTRO

El Ortocentro de un triángulo es el punto donde se cruzan las tres Alturas del triángulo.

Las Alturas son rectas perpendiculares trazadas desde los vértices al lado opuesto.

La construcción gráfica requiere el uso de la escuadra y cartabón. Este punto puede estar situado dentro, fuera o sobre un vértice del triángulo. Veamos la localización analíticamente.

Tenemos que hallar la recta que pasa por un vértice iy es perpendicular al lado opuesto. Para ello hallamos la pendiente de ese lado opuesto, m, y la recta perpendicular tendrá de pendiente m´= = -1/m. Y establecemos la ecuación punto-pendiente. Y así con otra de las alturas. Resolvemos el sistema y obtenemos el Ortocentro del triángulo.

CIRCUNCENTRO

Este punto es donde se cruzan las tres Mediatrices de los lados de un triángulo.

La Mediatriz de un lado es la recta perpendicular a ese lado pasando por el punto medio.

El Circuncentro es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

La construcción gráfica requiere los útiles básicos de dibujo. Y también se construirá la circunferencia que pasa por los tres vértices.

Analíticamente procederemos así: Calcularemos la pendiente(m) de un lado, el punto medio, y estableceremos la ecuación punto-pendiente de la mediatriz, con m´= -1/m . Hallamos la de otro vértice y resolvemos el sistema.

INCENTRO

El Incentro de un triángulo es el punto donde se cortan las tres Bisectrices del triángulo.

La Bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos iguales.

Hallaremos dos Bisectrices y resolveremos el sistema, obteniendo el Incentro.

CURSO PARA LA UNAM IPN UAM COMIPEMS CENEVAL EXAMEN CULTURAL SEDENA SEMAR

 
1.la recta ejemplos
 
2.la recta trigonometría
 
3.ecuación de la recta que es
 
4.elementos de la recta
 
5.tipos de rectas
 
6.pendiente de una recta
 
7.segmento de recta
 
8.la recta y sus ecuaciones
 
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1 year ago

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