LA ELIPSE | MATEMÁTICAS

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LA ELIPSE | MATEMÁTICAS

Tabla de contenidos
  1. LA ELIPSE | MATEMÁTICAS
  2. PREGUNTAS FRECUENTES SOBRE LA ELIPSE
  3. Elipse como lugar geométrico.
  4. Relación entre los parámetros a, b y c.
  5. Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal sobre alguno de los ejes coordenados.
  6. Forma estándar de elipses centradas en el origen
  7. Forma estándar de elipses centradas fuera del origen
  8. Elementos de una elipse.

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PREGUNTAS FRECUENTES SOBRE LA ELIPSE

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
  • Elipse de Eje Horizontal.
  • Elipse de Eje Vertical.
Los Elementos de la elipse son:

es el valor del semieje mayor. es el valor del semieje menor. 10Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor. 11Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

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Elipse como lugar geométrico.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante. Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es constante.

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También podemos definir la elipse como una cónica, consecuencia de la intersección de un cono con un plano oblicuo que no corta la base.

Relación entre los parámetros a, b y c.

Ahora veamos la elipse y la relación entre la distancia focal y los semiejes, sabemos que:

  • a: es la distancia entre el centro y cualquiera de los vértices.
  • b: es la distancia entre el centro y cualquiera de los extremos del eje menor.
  • c: es la distancia del centro a cualquiera de los focos.

La relación entre estas tres dimensiones es la siguiente:

APRENDE TODO SOBRE LA ELIPSE | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICASEs la ecuación de Pitágoras que se cumple en triángulos rectángulos.

Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal sobre alguno de los ejes coordenados.

Una elipse es definida como el conjunto de todos los puntos (x, y) en un plano de modo que, la suma de sus distancias desde dos puntos fijos es constante. Cada punto fijo es llamado un foco de la elipse. Todas las elipses tienen dos ejes de simetría. El eje más largo es llamado el eje mayor y el eje más corto es llamado el eje menor. Cada punto extremo del eje mayor es el vértice de la elipse y cada punto extremo del eje menor es el covértice de la elipse. El centro de una elipse es el punto medio tanto del eje mayor como del eje menor. Los ejes de la elipse son perpendiculares en el centro. Los focos siempre se ubican en el eje mayor.

elementos de una elipse

En este artículo, conoceremos la ecuación de la elipse centrada en el origen. Sólo nos enfocaremos en las elipses que están posicionadas vertical u horizontalmente en el plano cartesiano.

Forma estándar de elipses centradas en el origen

Las formas estándar de ecuaciones nos dan información sobre las características principales de las gráficas. Las características principales de la elipse son su centro, vértices, covértices, focos y longitudes y posiciones del eje mayor y el eje menor. Existen cuatro variaciones de la forma estándar de elipses. Estas variaciones dependen primeramente en la ubicación del centro (en el origen o fuera del origen) y luego en la posición de la elipse (vertical u horizontal).

Ecuación de la elipse horizontal

La forma estándar de una elipse con centro en el origen, (0, 0), y con el eje mayor paralelo al eje x es:

\frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1

 

en donde,

1.a>b

2.La longitud del eje mayor es 2a

3.La longitud del eje menor es 2b

4.Las coordenadas de los vértices son (\pm a, 0)

5.Las coordenadas de los covértices son (0, \pm b)

6.Las coordenadas de los focos son (\pm c, 0), en donde, {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}

coordenadas de elipse horizontal

Ecuación de la elipse vertical

La ecuación de una elipse en su forma estándar que tiene al centro en el origen, (0, 0), y en la que su eje mayor es paralelo al eje y es:

\frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}+\frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}=1

 

en donde,

1.a>b

2.El eje mayor mide 2a

3.El eje menor mide 2b

4.Las coordenadas de los vértices son (0, \pm a)

5.Las coordenadas de los covértices son (\pm b, 0)

6.Las coordenadas de los focos son (0, \pm c), en donde, {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}

coordenadas de elipse vertical

Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados.

Las elipses son formadas por el conjunto de todos los puntos, los cuales tienen distancias desde dos puntos fijos que al ser sumadas es igual a un valor constante. Los puntos fijos son denominados los focos de la elipse. Las elipses tienen dos ejes de simetrías. El eje con la mayor longitud es denominado el eje mayor y el eje con la menor longitud es denominado el eje menor. Los vértices de la elipse son los puntos finales del eje mayor y los covértices son los puntos finales del eje menor. El centro de una elipse es el punto de intersección del eje mayor y el eje menor. Los focos siempre están ubicados en el eje mayor.

elementos de una elipse

A continuación, conoceremos la ecuación de la elipse que tiene un centro fuera del origen. Miraremos ecuaciones tanto para elipses orientadas verticalemente, como para elipses orientadas horizontalmente.

Forma estándar de elipses centradas fuera del origen

Muchas veces, las elipses no están centradas en el origen, por lo que no podemos usar las ecuaciones más básicas que usamos cuando sí tenemos un centro en el origen. Sin embargo, similar a otras gráficas, las gráficas de las elipses pueden ser trasladadas horizontalmente y verticalmente. Si es que una elipse es trasladada h unidades horizontalemente y k unidades verticalmente, su centro estará en (h, k).  Podemos usar esta traslación en la ecuación estándar de una elipse reemplazando a x con (x-h) y a y con (y-k).

Además de tener elipses centradas en el origen y fuera del origen, también tenemos elipses que tienen una orientación vertical u horizontal.

Ecuación de la elipse horizontal centrada fuera del origen

La forma estándar de una elipse con centro en (h, k), y con el eje mayor paralelo al eje x es:

\frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{(y-h)}^2}}{{{b}^2}}=1

 

en donde,

1.a>b

2.El eje mayor mide 2a

3.El eje menor mide 2b

4.Los vértices están ubicados en (h\pm a, k)

5.Los covértices están ubicados en (h, k\pm b)

6.Los focos están ubicados en (h \pm c, k), en donde, {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}

coordenadas de elipse horizontal con centro fuera del origen

Ecuación de la elipse vertical centrada fuera del origen

La ecuación de una elipse en su forma estándar que tiene al centro en (h, k), y en la que su eje mayor es paralelo al eje y es:

\frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}+\frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}=1

 

en donde,

1.a>b

2.La longitud del eje mayor es 2a

3.La longitud del eje menor es 2b

4.Los vértices están ubicados en (h, k\pm a)

5.Los covértices están ubicados en (h\pm b, k)

6.Los focos están ubicados en (h, k\pm c), en donde, {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}

coordenadas de elipse vertical con centro fuera del origen

 


Elementos de una elipse.

  • Vértices.- son los puntos de intersección entre la elipse y la recta que pasa por sus focos (V1 Y V2).
  • Centro.- es el punto medio del eje mayor o menor.
  • Focos.- son los puntos F1 Y F2 y quienes generan la elipse.
  • Eje mayor.- es la cuerda o segmento que une los vértices.
  • Eje menor.- es el segmento perpendicular al eje mayor que pasa por el centro.
  • Semieje mayor (a).- distancia del centro al extremo del eje mayor o vértice.
  • Semieje menor (b).- es la distancia del centro al extremo del eje menor.
  • Semidistancia focal.- es la distancia entre el centro y cualquiera de los focos.
  • Radio vectores.- son los segmentos que van desde cualquier punto de la elipse a los focos F1 Y F2.
  • Distancia focal.- es la distancia entre los focos.
  • Lado recto (LR).- es el segmento paralelo al semieje menor que pasa por cualquier foco de la elipse
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1.elementos de la elipse
 
2.ecuaciones de la elipse
 
3.lado recto de la elipse
 
4.historia de la elipse
 
5.es un segmento como mm que une cualesquiera dos puntos distintos de la elipse
 
6.aplicaciones de la elipse
 
7.características de la elipse
 
8.ecuación de la elipse con centro en el origen

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