LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO PARA CÓNICAS
LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO PARA CÓNICAS
PREGUNTAS SOBRE LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
¿Cuál es la ecuación general de una cónica?
Las cónicas.
Las cónicas son las figuras geométricas que aparecen cuando hacemos la intersección de un cono con un plano. Como podemos ver en la siguiente imagen, según el ángulo de inclinación del plano, que denotamos por ß, podemos encontrarnos con las siguientes figuras: una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola, de mayor a menor inclinación.
CIRCUNFERENCIA
Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono, es un caso particular de la elipse. La circunferencia es el resultado de la intersección de un plano de forma perpendicular al eje. Por tanto el ángulo de inclinación ß= 90º.
ELIPSE
La elipse surge al realizar la intersección de una superficie cónica con un plano oblicuo al eje, es decir, un plano que no sea paralelo ala generatriz del cono. Por tanto el ángulo de inclinación oscilará entre: 0<ß<90º.
PARÁBOLA
La parábola se obtiene a partir de la intersección de una superficie cónica y un plano oblicuo al eje que sea paralelo a la generatriz. Por tanto el ángulo de inclinación coincide con el ángulo de conocidad. Tanto la parábola como la hipérbola son curvas abiertas cuyo trazo continua hasta el infinito.
HIPÉRBOLA
Por último, la hipérbola se obtiene al realizar la intersección de una superficie cónica y un plano oblicuo al eje, pero en este caso, el ángulo de inclinación tiene que ser más pequeño que el que forman el eje y la generatriz. Como ya hemos dicho en el caso anterior, también es una curva abierta. La hipérbola consta de dos ramas separadas, de tal forma que tiene dos asíntotas.
LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO PARA CÓNICAS
Ecuación general de segundo grado de las cónicas.
La ecuación de toda sección cónica se puede escribir de forma Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 , la cual es la ecuación general de segundo grado en términos de x e y . Para todas las secciones cónicas que hemos estudiado en este capítulo B=0 ya que los ejes son horizontales o verticales. Cuando una cónica está escrita de esta forma, debemos completar el cuadrado para transformarla a la forma estándar.
Forma Estándar de las Secciones Cónicas con Centro en (h,k)
| Eje Horizontal | Eje Vertical | |
|---|---|---|
| Circunferencia | (x−h)2+(y−k)2=r2 | |
| Parábola | (y−k)2=4p(x−h) | (x−h)2=4p(y−k) |
| Elipse | (x−h)2a2+(y−k)2b2=1 | (x−h)2b2+(y−k)2a2=1 |
| Hipérbola | (x−h)2a2−(y−k)2b2=1 | (y−k)2a2+(x−h)2b2=1 |
Criterios para identificar a la cónica que representa una ecuación de segundo grado.
La ecuación general de las curvas cónicas es la siguiente
ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0
Cuando b vale cero (es decir, cuando no aparece el término que contiene a x e y multiplicándose); podemos identificar fácilmente ante que curva cónica nos encontramos
1.Si a = c estamos ante una circunferencia
2.Si a es distinto de c pero ambos tienen el mismo signo, estamos ante una elipse
3.Si a es distinto de c y ambos distinto el mismo signo, estamos ante una hipérbola
4.Si a ó c valen cero, estamos ante una parábola
Ya cuando tanto a como c valen exactamente cero, nos queda la ecuación dx + ey + f = 0 la cual simplemente representa una recta.
Traslación de ejes cónicas.
Hemos visto (en autovalores y autovectores) algunas propiedades de las matrices simétricas que retomaremos aquí para poder aplicarlas al estudio de las cónicas.
Si es simétrica ( ), entonces se verifican las siguientes propiedades:
- Todos sus autovalores son reales.d
- autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales)
- es ortogonalmente diagonalizable, es decir:
Las matrices ortogonales se caracterizan porque sus columnas son vectores ortogonales y de norma (módulo) 1.
Ejemplo 2
Calculemos la diagonalización de la matriz:
El lector puede verificar que sus autovalores y autoespacios son:
Observamos que los autoespacios son ortogonales (propiedad de las simétricas). Podemos construir la matriz P (cuyas columnas son los autovectores) que permite diagonalizar :
Si bien las columnas de son ortogonales, no es una matriz ortogonal porque sus columnas no tienen módulo 1. Nos falta normalizar los autovectores, o sea obtener sus versores asociados:
,
Entonces podemos diagonalizar mediante una matriz ortogonal:
Esta matriz sí verifica:
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