LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN | CALCULO DIFERENCIAL

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¿Cuáles son las fórmulas de derivación o de la derivada?

¿Cuáles son las 10 derivadas basicas?

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN | CALCULO DIFERENCIAL

Definición de derivada y sus notaciones.

La derivada de una función en un punto $x$ indica qué tanto está cambiando la función en ese punto; así, por ejemplo, si la función indica la posición de un móvil en una carretera recta, la derivada indica la velocidad del móvil, es decir, expresa cómo está cambiando la posición en ese momento.TODO SOBRE LA DERIVADA | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS

Geométricamente, si representamos a la función $f$ mediante su gráfica en un plano, su derivada en un punto $x$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto $(x,f(x))$, y ésta indica qué tanto está creciendo o decreciendo la función en ese punto.

En el plano de abajo, arrastra el punto rojo sobre la gráfica y observa el comportamiento de la recta tangente.

Procedimiento.

A lo largo de la historia del cálculo, diferentes autores han ideado diferentes notaciones para la derivada de una función en un punto, algunas de estas notaciones son:

1.La notación más simple es la de Lagrange, que consiste en poner una prima arriba a la derecha de la función, f′(x)f'(x)f′(x), por ejemplo, (x2−3x+4)′(x^{2}-3x+4)’(x2−3x+4)′, (sen  x)′(sen\;x)’(senx)′

2.La notación de Leibniz tiene la ventaja de sugerir a la derivada como un cociente entre dos cantidades muy pequeñas dfdx\frac{df}{dx}dxdf​, y si escribimos $y=f(x)$, expresamos su derivada como dydx\frac{dy}{dx}dxdy​, por ejemplo ddx(x2−3x+4)\frac{d}{dx}(x^{2}-3x+4)dxd​(x2−3x+4) si se quiere indicar en qué punto se está evaluando, se escribe, por ejemplo, dfdx(4)\frac{df}{dx}(4)dxdf​(4).

3.La notación de Cauchy es DxfD_{x}fDx​f, Dx(x2−3x+4)D_{x}(x^{2}-3x+4)Dx​(x2−3x+4) y es útil cuando se quiere indicar que la derivada es un operador que actúa sobre las funciones.

Como una simplificación de la notación de Cauchy, en el tema de ecuaciones diferenciales, se suele escribir la derivada, poniendo a la $x$ como subíndice, fxf_{x}fx​, por ejemplo 3fx−4f=03f_{x}-4f=03fx​−4f=0 significa 3dfdx−4f=03\frac{df}{dx}-4f=03dxdf​−4f=0.

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Obtención de derivadas.

Tabla de derivadas

En esta sección, ponemos a disposición de todos una tabla de derivadas. Un recurso valioso para el estudio del cálculo diferencial en asignaturas de análisis matemático.

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Regla de la cadena.

La regla de la cadena es una norma de la derivación que nos dice que, teniendo una variable y que depende de u, y si esta depende a la variable x, entonces la razón de cambio de y respecto a x puede estimarse como el producto de la derivada de y con respecto a u por la derivada de u respecto a x.

En términos matemáticos, se puede traducir de esta manera:

 

Para utilizar bien esta regla es importante poder identificar correctamente si una función es compuesta, así como determinar la función exterior e interior.

Por ejemplo, si tenemos (4x+7)², se trata de una función compuesta donde 4x+7 es la función interna a la que podemos asignar el nombre y, mientras que la función externa es y².

Esta regla es de utilidad, por ejemplo, en funciones trigonométricas que afectan polinomios o expresiones algebraicas, como lo veremos en los ejemplos más adelante.

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Ejemplos de regla de la cadena

Veremos algunos ejemplos de aplicación de la regla de la cadena:

Ahora,un segundo ejemplo con una función trigonométrica:

Finalmente, un ejemplo más complejo de una función trigonométrica elevada al cuadrado:

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Derivada de funciones implícitas.

Reglas de derivación implícita

Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:

Dada una función , implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: .

Si consideramos es una función en términos de la variable independiente x y es una función en términos de la variable dependiente y, dado que , entonces para obtener la derivada:

Derivadas implícitas ejercicios resueltos

Obtener la derivada de:

1.El término se puede considerar que son dos funciones, y por lo que se derivará como un producto:

2.El término se deriva como:

3.El término se deriva de forma normal como:

4.El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

5.El término se puede considerar como un producto y se deriva como:

Al unir todos los términos se obtiene:

Ordenando:

Factorizando respecto a ( ) los valores son:

Finalmente despejando se obtiene la derivada de la función implícita:

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Derivadas sucesivas de una función.

Las derivadas sucesivas son las derivadas de una función después de la segunda derivada. El proceso para calcular las derivadas sucesivas es el siguiente: se tiene una función f, la cual podemos derivar y obtener así la función derivada f’. A dicha derivada de f podemos volver a derivarla, obteniendo (f’)’.

Esta nueva función se denomina segunda derivada; todas las derivadas calculadas a partir de la segunda son sucesivas; estas, llamadas también de orden superior, poseen grandes aplicaciones, como dar información sobre el trazo de la gráfica de una función, la prueba de la segunda derivada para extremos relativos y la determinación de series infinitas.

Definición

Usando la notación de Leibniz, tenemos que la derivada de una función “y” con respecto a “x” es dy/dx. Para expresar a la segunda derivada de “y” usando la notación de Leibniz, escribimos de la siguiente manera:

En general, podemos expresar las derivadas sucesivas como sigue con la notación de Leibniz, donde n representa al orden de la derivada.

Interpretación geométrica y física.

Vamos a hacer un acercamiento al punto donde calculamos la velocidad instantánea de la piedra que cae desde los 10 metros de altura, en una discusión previa:

En la gráfica de la derecha, la recta punteada representa la recta tangente a la gráfica de la función en
el punto .

En la cercanía del punto , la recta y gráfica de la función se confunden, porque la curva es suave. Es decir, los valores que van tomando no cambian de dirección bruscamente, como por ejemplo, la función valor absoluto.

Para la función , en la cercanía del origen la dirección de la gráfica de la función cambia bruscamente. La gráfica de la función en ese punto no es suave.

Por otra parte, cualquier función polinomial es suave. La función cuadrática es una función polinomial y por eso es suave. Como la gráfica de esta función es suave, una recta tangente puede aproximar muy bien a su gráfica en la cercanía de cualquiera de sus puntos.

La recta tangente a la gráfica de la función se puede calcular a través del límite:

que no es sino la razón de cambio instantánea de con respecto a , o en otras palabras, la derivada de la función respecto a su variable independiente.

Entonces, la derivada también puede interpretarse como la mejor aproximación lineal a una función en la cercanía de uno de sus puntos. De hecho, precisamente esa es la razón por la cual durante mucho tiempo
se creyó que la tierra era plana.

En la cercanía de un punto, la superficie que forma el agua de mar parece un plano. El tamaño de la superficie terrestre es muy grande comparada con el tamaño de nosotros, los humanos. Por eso, se creyó que la tierra era plana. Porque un plano es una muy buena aproximación a la superficie de una esfera en un punto. En un plano, una recta es una muy buena aproximación a una circunferencia en la cercanía de uno de sus puntos. Y conforme el radio de la circunferencia crece, la aproximación parece ser cada vez mejor.

Como resumen, tenemos las siguientes interpretaciones de la derivada de una función.

Sea una función con derivada en todo su dominio. La derivada de la función puede interpretarse de las siguientes tres maneras:

• (i) La razón de cambio instantánea de la variable con respecto a la variable independiente de la función .
• (ii) La pendiente de la recta tangente a la curva en uno de sus puntos.
• (iii) La mejor aproximación lineal a la gráfica de la curva en uno de sus puntos.

Ejercicio 1

Calcula la derivada de la función:

y da las tres posibles interpretaciones que se pueden dar al resultado.

Aplicamos la regla de los 4 pasos.
 1:

 2:

 3:

 4:

Ahora damos la interpretación.

Primera interpretación:
La razón de cambio instantánea de con respecto a la variable es .

Segunda interpretación:
La pendiente de la recta tangente a la función en el punto está dada por: .

Tercera interpretación:
La mejor aproximación lineal a la función en cualquiera de sus puntos puede calcularse con la ayuda de: .

La derivada puede interpretarse geométricamente así como físicamente, dependiendo del contexto en el cual se le calcule. A partir de una función la derivada puede interpretarse como una corriente eléctrica, gasto de agua, etc.

Ecuaciones de la tangente y de la normal a una curva.

Recta tangente

La recta tangente en el punto de una circunferencia es aquella recta que intercepta a la circunferencia en un solo punto, pero lo cierto es que tal definición no es suficiente para una curva en general porque en otros casos la recta tangente puede llegar a interceptar a la curva en uno o más puntos, además de ser inclinada,horizontal o vertical.

Para obtener una definición adecuada de la recta tangente a la gráfica de una función en unpunto se emplea el concepto de límite.

Recta Normal

Si se traza una perpendicular a la recta tangente se obtiene la recta normal. Los gráficos muestran la recta tangente y la normal a la curva en un punto dado.

Cálculo de velocidad y aceleración de un móvil.

Una de las motivaciones que llevaron al descubrimiento de la derivada fue la búsqueda de la definición de la velocidad instantánea. La definición formal es la siguiente:

Sea y = f(t) una función cuya gráfica describe la trayectoria de una partícula en un instante t, entonces su velocidad en un instante t viene dada por:

Una vez obtenida la velocidad de una partícula, podemos calcular aceleración instantánea, la cual está definida de la siguiente manera:

La aceleración instantánea de una partícula cuya trayectoria viene dada por y = f(t) es:

Ejercicio 1

Una partícula se mueve sobre una recta según la función posición:

Donde “y” se mide en metros y “t” en segundos.

• ¿En qué instante su velocidad es 0?
• ¿En qué instante su aceleración es 0?

Al derivar la función posición “y” tenemos que su velocidad y aceleración vienen dadas respectivamente por:

Para poder responder la primera pregunta, basta con determinar cuándo se hace cero la función v; esto es:

Procedemos con la siguiente pregunta de manera análoga:

Máximos y mínimos relativos de una función.

Una función   f(x)   tiene un máximo relativo en   x = c   si   f(a) ≥ f(x)   para todo   x   en algún entorno del punto   a .

Una función   f(x)   tiene un mínimo relativo en   x = a   si   f(a) ≤ f(x)   para todo   x   en algún entorno del punto   a .

Criterio de la primera derivada

Criterio de la segunda derivada

La condición necesaria para que una función tenga un máximo relativo es que su primera derivada en ese punto sea igual a 0 y la condición suficiente es que su segunda derivada en ese punto sea menor que 0.

La condición necesaria para que una función tenga un mínimo relativo es que su primera derivada en ese punto sea igual a 0 y la condición suficiente es que su segunda derivada en ese punto sea mayor que 0.

Procedimiento para hallar los máximos y mínimos relativos

Máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado.

El máximo absoluto de una función  en un intervalo cerrado  es el mayor valor que toma la función en todo el intervalo.

El mínimo absoluto de una función  en un intervalo cerrado  es el menor valor que toma la función en todo el intervalo.

Si nos planteamos el problema de hallar el máximo y el mínimo absolutos de una función   en un intervalo cerrado , habremos de considerar tres clases de puntos:

1. a) los puntos críticos o singulares de f en .

2. b) Los extremos a y b.

3. c) Los puntos de en los que f no es derivable.

Si x es un punto máximo o mínimo absoluto de  f  sobre  , entonces x será un punto de una de las tres clases arriba citadas.

El procedimiento para calcular el máximo y el mínimo de una función  f  en un intervalo cerrado  es bastante sencillo:

1. a) Primero se calcula para todos aquellos puntos x para los cuales , es decir el valor de la función en los puntos críticos.

2. b) Después se calcula en los puntos x en los  que f no es derivable.

3. c) Finalmente se calculan y

El mayor de todos estos valores será el máximo absoluto, y el menor de todos ellos será el mínimo absoluto.

Puntos de inflexión y de concavidad en una curva.

El concepto de concavidad se utiliza para determinar si la gráfica de la función es de la forma cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.

Si para los valores dados de intervalo, la doble derivada de la función es mayor o igual que 0, entonces el gráfico de la función será cóncavo hacia arriba, y cuando la doble derivada se convierte en menor que 0, entonces la forma de la gráfica será cóncava hacia abajo.

Estas posiciones, o más bien los puntos, son conocidos como puntos de inflexión.

En estos puntos de inflexión, la doble derivada de la función se convierte en 0.

Problemas de la vida cotidiana.

Cinemática

• La derivada de la posición con el tiempo es la velocidad
• La derivada de la velocidad con el tiempo es la aceleración

Dinámica

• La derivada del momento lineal con el tiempo es la fuerza
• La derivada de la fuerza con respecto a la posición es la energía (potencial, cinética, trabajo, etc).

Geometría

• La derivada del volumen es la superficie o área
• La derivada de la superficie es la distancia

Electrostática

• La derivada de la carga eléctrica en el tiempo es la intensidad de corriente

Física de Materiales

• La derivada de la masa con respecto a la longitud/superficie/volumen es la densidad

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