- LA CIRCUNFERENCIA | MATEMÁTICAS
- PREGUNTAS FRECUENTES SOBRE LA CIRCUNFERENCIA
- APRENDE TODO SOBRE LA CIRCUNFERENCIA | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS
- Circunferencia como lugar geométrico es uno de los más usados en el primer semestre de la universidad cuando estudias cálculo o análisis matemático
- Formas ordinaria (canónica) y general de la ecuación de la circunferencia con centro en el origen.
- Ecuación de la circunferencia con centro en (h,k) en las formas ordinaria y general.
- Elementos de una circunferencia.
- Circunferencias y ángulos
LA CIRCUNFERENCIA | MATEMÁTICAS
LA CIRCUNFERENCIA | MATEMÁTICAS
PREGUNTAS FRECUENTES SOBRE LA CIRCUNFERENCIA
¿Qué es la circunferencia y cuáles son sus partes?
¿Qué es la circunferencia y ejemplos?
¿Cómo se calcula la circunferencia de un círculo ejemplos?
APRENDE TODO SOBRE LA CIRCUNFERENCIA | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS
La Circunferencia como lugar geométrico se define como la figura formada por los puntos del plano que cumplen con una condición. Esta condición que debe cumplir todo punto del plano se expresa mediante una ecuación, todo punto que pertenezca al lugar geométrico satisface a la ecuación, es decir que cuando se sustituye los valores de la variable «x» y el valor de la variable «y» se cumple la igualdad.
Un Lugar Geométrico puede estar definido por una ecuación general o una ecuación canónica, la difrencia de los diversos términos y coeficientes de la ecuación definen diversos lugares geométricos, por ejemplo: plano, recta, circunferecia, parábola, elipse, hipérbola.
Para definir una circunferencia los puntos debe cumplir con la condición de «Equidistar de un punto fijo» al cual se le llama Centro. Todo punto que pertenezca a un circunferencia tiene igual distancia entre él y el punto fijo, esa distancia es conocida como el Radio. Al calcular la distancia entre puntos se obtiene la ecuación de la circunferencia.
Entonces la ecuación Canónica de una Circunferencia cuando el centro está en cualquier parte del plano C(Xo,Yo)es:
Cuando se desarrolla la ecuación canónica, que esta formada por dos productos notables y se agrupan términos semejantes se obtiene la Ecuación General del Lugar Geométrico.
Circunferencia como lugar geométrico
La Característica de una Circunferencia, que la diferencia de otras es que, los coeficientes de x2 y y2 son iguales.
Circunferencia como lugar geométrico es uno de los más usados en el primer semestre de la universidad cuando estudias cálculo o análisis matemático
La ecuación de una circunferencia se puede derivar de manera implícita o explicita, en ambos casos se podrá obtener la pendiente de la recta tangente a la circunferencia. La cual al ser evaluado en un punto perteneciente a la circunferencia dará el valor de la pendiente de la recta que pasa por ese punto.
Formas ordinaria (canónica) y general de la ecuación de la circunferencia con centro en el origen.
La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo 
que llamamos centro.
Por lo tanto, cada punto 
de la circunferencia satisface
donde la distancia 
se llama radio. Así, tenemos la siguiente
Elevando al cuadrado la ecuación anterior, obtenemos:
La ecuación anterior se conoce como ecuación ordinaria de la circunferencia. Para obtener la ecuación general debemos desarrollar los binomios al cuadrado:
Luego reagrupamos los términos de la siguiente manera:
Consideramos los siguientes cambios:
Por tanto, la ecuación de la circunferencia se puede escribir de la siguiente manera:
la cual se conoce como la ecuación general de la circunferencia. Aquí, el centro está dado por:
y el radio satisface que:
Es importante notar que la ecuación
debe satisfacer lo siguiente para que describa una circunferencia:
1 Se cumple la siguiente desigualdad
2 No hay ningún término 
(es decir, 
y 
no se multiplican).
3 
y 
tienen coeficiente 1.
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Ecuación de la circunferencia con centro en (h,k) en las formas ordinaria y general.
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
Observemos el gráfico. Sea una circunferencia de centro (h,k) y radio r.
Por la ecuación de distancia entre dos puntos tenemos:
Eliminando la raíz y transponiendo términos se obtiene:
Si el centro está en el origen de coordenadas, C (0,0), la ecuación se reduce a
DEDUCCIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
La ecuación ordinaria de la circunferencia es
Realizando las operaciones indicadas se transforman en
Transpongamos r2 y ordenemos los términos
Que representa la forma
Ecuación general de la circunferencia
En donde: D = -2h ; E = -2K y F = h2 + k2 – r2
Caso Recíproco
Si escribimos la ecuación general en la forma x2 + Dx + y2 + Ey = -F y sumamos y restamos los términos que se indican para completas trinomios cuadrados perfectos se tiene
Factorando en el primer miembro y sumando en el segundo se tiene
Comparando con (x-h) 2 + (y– k) 2 = r2, se concluye que
El centro C es 
y el radio r = 
Como D2 + E2 – 4F da el valor del radio, los casos que pueden presentarse son:
a) Si D2 + E2 – 4F ( 0 existe circunferencia, r es real
b) Si D2 + E2 – 4F ( 0 no existe circunferencia, r es imaginario
c) Si D2 + E2 – 4F = 0 no existe circunferencia, la ecuación representa al punto (-D/2 , -E/2).
Elementos de una circunferencia.
Una circunferencia no es más que la línea que se traza con la unión de todos los puntos equidistantes entre sí. Estos puntos se ubican a una misma distancia de un punto fijo conocido como centro, el cual se le reconoce como O. No debe confundirse el término circunferencia con círculo, ya que esta es la curva en la cual se encierra la superficie (círculo). A continuación, conoceremos a detalle los elementos de una circunferencia:
- Centro: se conoce como O y es el punto central. Se encuentra a la misma distancia de todos los puntos de la circunferencia.
- Radio: es la recta que une al centro con cualquiera de los puntos, y se le conoce como
- Cuerda: es la pieza que une dos puntos cualquiera de la circunferencia, y por lo general tienen distintas medidas dependiendo de qué puntos se unan.
- Diámetro: es el trazo más grande dentro de la circunferencia que une dos puntos, pasando siempre por O. Se nombra con la letra
- Tangente: se define como la recta que toca la circunferencia en un solo punto, llamado punto de tangencia.
- Secante: es la recta que corta la circunferencia en dos puntos cualquiera.
- Arco: es un fragmento de la circunferencia determinado por dos puntos distintos de la misma.
- Semicircunferencia: Son cada uno de los arcos iguales que incluye un diámetro.
Circunferencias y ángulos
Ya vimos los ocho elementos principales que conforman una circunferencia. Sin embargo, para ir más a fondo en el tema, existen otros elementos conocidos generalmente como ángulos y son los siguientes:
- Ángulo del centro: su vértice se encuentra en el centro de la circunferencia, cuyos lados pertenecen a dos radios y estos establecen un arco.
- Inscrito: su vértice se ubica en un punto de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas secantes.
- Ángulo semi-inscrito: tiene su vértice sobre la circunferencia, además está conformado por una recta secante de un lado y por el otro, una recta tangente. Mide la mitad del arco que ocupa.
- Interior: es el ángulo que tiene el vértice en el interior de la circunferencia y sus lados son rectas secantes. Mide la mitad de los arcos que abarcan sus lados.
- Ángulo externo: es el ángulo que tiene el vértice en el exterior de la circunferencia y sus lados son rectas secantes.
