FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Las funciones exponenciales y logarítmicas con base  son inversas una de otra. Por lo tanto, cuando en una expresión y = a^x nos dan “a” y “x” para calcular “y”, estamos en presencia de una función exponencial, pero cuando nos dan  “a” e “y” para calcular x, estamos en presencia de una función logarítmica.

1.Funciones exponenciales

Toda función f: R → R₊^* tal que f(x) = a^x con a ≠ 1 y a > 0, se le denomina función exponencial.

• Como a⁰ = 1, la curva pasa por el punto (0,1).
• Como a¹ = a, la curva pasa por el punto (1,a).

El valor de y en la función f(x) = a^x para cualquier número del conjunto R siempre es un número positivo y nunca puede valer cero, ya que no hay ningún número x que sustituido en la expresión de la función de como resultado cero. Por ello la curva siempre está “por encima” del eje x (no lo corta).

• Cuando a > 1 la curva es estrictamente creciente.
• Cuando a < 1 la curva es estrictamente decreciente.

Ejemplo: Sea f: R → R₊^* tal que f(x) = (1/2)^x. Realizar la representación gráfica de la misma.

Haciendo la representación gráfica para el intervalo, – 3 ≤ x ≤ 3 se tiene:

Finalmente:

• La curva pasa por el punto A(0,1).
• La curva pasa por el punto B(1,1/2)
• La Curva está “por encima” del eje x y no lo corta.
• La función es estrictamente decreciente ya que a < 1, con a = 1/2.

2.Funciones logarítmica

Toda función f: R → R₊^* tal que log_af(x) = a^x con a ≠ 1 y a > 0, se le denomina función logarítmica. Esta función es la inversa de la función de la exponencial en base a, dado que:

log_af(y) = x    ↔     a^x = y

• La función logarítmica sólo existe para x > 0 (sin incluir el cero). Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+∞).
• Cuando x = 1, la función logarítmica se anula, ya que log_af(1) = 0, en cualquier base.
• La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
• La curva es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

Ejemplo: Sea f: R → R₊^* tal que y = log(x) , realizar la representación gráfica de la misma.

Haciendo la representación gráfica para el intervalo -1/2 ≤ x ≤ 8, se tiene:

Finalmente:

• La Curva está “a la derecha” del eje “y” y no lo corta.
• La función es creciente ya que a > 1, con a = 10.