Las funciones exponenciales y logarítmicas con base son inversas una de otra. Por lo tanto, cuando en una expresión y = ax nos dan “a” y “x” para calcular “y”, estamos en presencia de una función exponencial, pero cuando nos dan “a” e “y” para calcular x, estamos en presencia de una función logarítmica.
1.Funciones exponenciales
Toda función f: R → R+* tal que f(x) = ax con a ≠ 1 y a > 0, se le denomina función exponencial.
- Como a0 = 1, la curva pasa por el punto (0,1).
- Como a1 = a, la curva pasa por el punto (1,a).
El valor de y en la función f(x) = ax para cualquier número del conjunto R siempre es un número positivo y nunca puede valer cero, ya que no hay ningún número x que sustituido en la expresión de la función de como resultado cero. Por ello la curva siempre está “por encima” del eje x (no lo corta).
- Cuando a > 1 la curva es estrictamente creciente.
- Cuando a < 1 la curva es estrictamente decreciente.
Ejemplo: Sea f: R → R+* tal que f(x) = (1/2)x. Realizar la representación gráfica de la misma.
Haciendo la representación gráfica para el intervalo, – 3 ≤ x ≤ 3 se tiene:
Finalmente:
- La curva pasa por el punto A(0,1).
- La curva pasa por el punto B(1,1/2)
- La Curva está “por encima” del eje x y no lo corta.
- La función es estrictamente decreciente ya que a < 1, con a = 1/2.
2.Funciones logarítmica
Toda función f: R → R+* tal que logaf(x) = ax con a ≠ 1 y a > 0, se le denomina función logarítmica. Esta función es la inversa de la función de la exponencial en base a, dado que:
logaf(y) = x ↔ ax = y
- La función logarítmica sólo existe para x > 0 (sin incluir el cero). Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+∞).
- Cuando x = 1, la función logarítmica se anula, ya que logaf(1) = 0, en cualquier base.
- La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
- La curva es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.
Ejemplo: Sea f: R → R+* tal que y = log(x) , realizar la representación gráfica de la misma.
Haciendo la representación gráfica para el intervalo -1/2 ≤ x ≤ 8, se tiene:
Finalmente:
- La Curva está “a la derecha” del eje “y” y no lo corta.
- La función es creciente ya que a > 1, con a = 10.
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