FACTORIZACIÓN

FACTORIZACIÓN

  1. – Factorización

Factorizar una expresión algebraica (o suma de términos algebraicos), es el procedimiento que permite escribir como multiplicación dicha expresión.

Los factores o divisores de una expresión algebraica, son los términos, ya sean  números y/o letras, que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

Así, por ejemplo, si multiplicamos a por a + b podemos ver qué;

factorizacion_1.jpg (600×50)

Dan como producto a2 + ab, entonces, los factores o divisores de esta expresión algebraica son a y a + b.

2- Métodos utilizados para factorizar un polinomio. 

Primero debes saber que, no todos los polinomios se pueden factorizar, ya que, al igual que en los números primos que sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que también solo son divisibles por ellas mismas y por 1.

Por ejemplo, el polinomio ax + by + cz, no se puede factorizar ya que, solo es divisible por ax + by + cz y por 1. Es decir, este polinomio no tiene un factor en común.

Para poder factorizar una expresión algebraica es necesario que siempre exista  al menos un factor en común dentro de sus términos, ya sean números y/o letras.

Factor común de una expresión algebraica es el  máximo común divisor (M.C.D.) de los términos que la componen.

2.1 –  Factor común monomio.

Debes identificar el factor común entre todos los términos de la expresión, y escribirlo como coeficiente de un paréntesis, en el cual tienes que escribir los términos resultantes después de dividir por el factor común.

Ejemplos;

a) Factorizar x2y + x2z.

Identificamos el factor común de x2y y x2z el cual es x2, entonces dividimos los términos de la expresión por x2x2y : x2 = y  y   x2 z : x2 = z. Ahora escribimos la factorización;

 

factorizacion_2.jpg (600×190)

 

b) Factorizar 8 m2 – 12 mn.

Identificamos el factor común de 8 m2 y 12 mn el cual es 4m, entonces dividimos los términos de la expresión por 4m; 8 m2 : 4m = 2m y 12 mn : 4m = 3n. Ahora escribimos la factorización;

factorizacion_3.jpg (600×180)

 

2.2- Factor Común polinomio o por agrupación de términos.

Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen algún factor en común, puedes realizar una agrupación en paréntesis de los términos que si tienen, y así podrás factorizar.

Generalmente la agrupación puede hacerse de varios modos, lo importante es que siempre los términos que se agrupen tengan algún factor en común. Independiente de cómo se agrupen los términos, el resultado será el mismo.

Ejemplos;

a) Factorizar la expresión a m + b m + a n + b n.

Podemos ver que, los dos primeros términos tienen el factor común m y los dos últimos el factor común n. Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro, precedido de un signo +, ya que es el signo del tercer término. Luego sacamos el factor común de cada paréntesis, y nos queda el binomio  en común (a + b), que se anota como producto de (m + n).

factorizacion_4.jpg (600×540)

 

En este mismo ejemplo, podemos agrupar el primer y el tercer término que tienen el factor común a, y el segundo y cuarto término que tienen el factor común b, sacamos el factor común de los paréntesis y nos queda el binomio en común (m + n), que se anota como producto de (a + b).

 

factorizacion_5.jpg (600×540)

 

 Nos da el mismo resultado, ya que el orden de los factores no altera el producto.

b) Factorizar la expresión 6 m – 9 n + 21 n x – 14 m x.

Agrupamos los términos 1 y 2 que tienen factor común 3 y los términos 3 y 4 que tienen el factor común 7 x.

 

factorizacion_6.jpg (600×750)

 

Como puedes ver, en el ejemplo anterior, los binomios (2 m – 3 n) y (3 n – 2 m), no son exactamente iguales, por lo cual, para igualarlos, cambiamos el signo al segundo binomio y nos quedo (- 3 n + 2m), pero para que el producto 7 x (3 n – 2 m) no variara, también le cambiamos el signo al factor 7 x, convirtiéndolo en – 7 x.

En el ejemplo anterior, también podemos agrupar el primer y cuarto término, que tienen el factor común 2 m, y el segundo y tercer término que tienen el factor común 3 n. Fíjate que al agrupar en paréntesis, el segundo y tercer término, que son – 9 n y + 21 n x, lo anotamos como – (9 n – 21 n x), esto para que mantengan los signos de la expresión original.

factorizacion_7.jpg (600×520)

Obtenemos el mismo resultado, ya que el orden de los factores no altera el producto.

2.3- Resultado de productos notables:

Para factorizar de forma más rápida una expresión algebraica, puedes utilizar productos notables, los cuales son;

a) Trinomio cuadrado perfecto

El trinomio cuadrado perfecto es igual al producto notable cuadrado de binomio o sea, es producto de dos binomios iguales:

factorizacion_8.jpg (600×160)

 

La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto es; extraer la raíz cuadrada al primer y tercer término, y separar estas raíces por el signo del segundo término. Entonces, el binomio formado se eleva al cuadrado o se multiplica por sí mismo.

Ejemplo:

– Factorizar 4 x2 – 12 x y + 9 y2

 

factorizacion_9.jpg (660×340)

 

b) Diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados perfectos es igual al producto notable suma por su diferencia;

factorizacion_10.jpg (600×60)

 

La regla para factorizar una diferencia de cuadrados es; extraer la raíz cuadrada al primer y al segundo cuadrado, y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por su diferencia.

Ejemplo:

Factorizar 25 – 36 x2

factorizacion_11.jpg (600×160)

 

c) Cubo de binomio

 

factorizacion_12.jpg (660×160)

Si analizamos esta fórmula, para factorizar y llegar al producto notable cubo de binomio, es necesario que la expresión algebraica ordenada con respecto a una letra, cumpla con las siguientes condiciones;

– Tiene que tener cuatro términos.

–  El primer y último término tienen que ser cubos perfectos.

–  El segundo término tiene que ser (sumado o restado) el triple del  cuadrado de la raíz cubica del primer término multiplicado por la raíz cúbica  del último término.

–  El tercer término tiene que ser sumado el triple de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último término.

Si todos los términos de la expresión son positivos, es el cubo de la suma de las raíces cúbicas del primer y último término, y si los  términos son alternativamente positivos y negativos, la factorización será el cubo de la diferencia de dichas raíces.

Ejemplo:

Factorizar a3 + 3 a2 + 3 a + 1.

Veamos si la expresión cumple con las condiciones para ser un cubo de binomio;

– La expresión si tiene 4 términos.

– El primer y segundo término, si son cubos perfectos.

– Como la raíz cubica de a3 es a, y la raíz cubica de 1 es 1, reemplazamos estos valores en la ecuación para comprobar si el segundo y tercer término corresponden;

Segundo término: 3 (a)2 (1) = 3 a2.

Tercer término: 3 (a) (1)2 = 3 a.

Como puedes ver, la expresión algebraica cumple con todas las condiciones, y como todos sus términos son positivos, la factorización es el cubo de la suma de a y 1;

factorizacion_13.jpg (600×60)

 

d) Suma de cubos.

factorizacion_14.jpg (600×50)

 

La fórmula nos dice que, para factorizar la suma de dos términos elevados al cubo, se descompone en dos factores, donde;

– El primer factor, es la suma de sus raíces cúbicas.

– El segundo factor, es el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

 

Ejemplo:

Factorizar a3 + 27.

– La raíz cubica de a3 es a, y de 27 es 3.

– Según la fórmula sería, (a + 3) (a2 – a (3) + (3)2).

 

factorizacion_15.jpg (600×50)

 

e) Diferencia de cubos.

factorizacion_16.jpg (600×50)

La fórmula nos dice que, para factorizar la diferencia de dos términos elevados al cubo, se descompone en dos factores, donde;

– El primer factor, es la diferencia de sus raíces cúbicas.

– El segundo factor, es el cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplo:

Factorizar x3 – 125.

– La raíz cubica de x3 es x, y de 125 es 5.

– Según la fórmula sería, (x – 5) (x2 + x (5) + (5)2).

factorizacion_17.jpg (600×50)

f) Trinomio de la forma x2 + bx + c.

Los trinomios ordenados de la forma x2 + bx + c, dan como resultado el producto notable producto de binomios;

 

factorizacion_18.jpg (600×130)

 

Para que aprendas a reconocer este tipo de trinomio, te tienes que fijar que cumpla las siguientes condiciones;

– El coeficiente del primer término es 1.

– El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

– El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1, y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

– El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo término, y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

Para que aprendas como anotar los signos de los binomios, y entiendas más este tipo de factorización te mostramos los siguientes ejemplos;

1) Factorizar x2 + 9 x + 14.

El trinomio se descompone en dos binomios, donde el primer término de ellos será la raíz cuadrada de x2, o sea x.

Cuando el segundo y tercer término del trinomio son positivos, ambos binomios tendrán signo positivo.

Los segundos términos de los binomios serán dos números que sumados den 9 y multiplicados den 14.

factorizacion_19.jpg (600×140)

 

2) Factorizar y2 – 8y + 15.

El trinomio se descompone en dos binomios, donde el primer término de ellos será la raíz cuadrada de y2, o sea y.

Cuando el segundo término del trinomio es negativo y tercer término positivo, ambos binomios tendrán signo negativo.

Los segundos términos de los binomios serán dos números que sumados den – 8 y multiplicados den 15.

factorizacion_20.jpg (600×140)

 

3) Factorizar m2 + 5m -14.

El trinomio se descompone en dos binomios, donde el primer término de ellos será la raíz cuadrada de m2, o sea m.

Cuando el segundo término del trinomio es positivo y tercer término negativo, los binomios tendrán signo destinos, donde el número de mayor valor absoluto será positivo.

Los segundos términos de los binomios serán dos números que sumados den 5 y multiplicados den – 14.

factorizacion_21.jpg (600×140)

 

4) Factorizar a2 – 2a – 15.

El trinomio se descompone en dos binomios, donde el primer término de ellos será la raíz cuadrada de a2, o sea a.

Cuando el segundo y tercer término del trinomio son negativos, los binomios tendrán signo destinos, donde el número de mayor valor absoluto será negativo.

Los segundos términos de los binomios serán dos números que sumados den – 2 y multiplicados den – 15.

factorizacion_22.jpg (600×140)

 

2.4- Trinomio de la forma ax2 + bx + c.

Se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior, en que el primer término tiene por coeficiente un número distinto de 1.

Para factorizar este tipo de trinomios, tienes que multiplicar el trinomio por el coeficiente de x2, dejando solamente indicado el producto del segundo término, luego puedes factorizar como aprendiste en el caso anterior, y por último tienes que dividir por el mismo número que multiplicaste.

Ejemplo;

Factorizar 20 x2 + 7x – 6.

Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de x2 que es 20 y dejamos solamente indicado el producto de 20 por 7 x, nos queda;

factorizacion_23.jpg (600×50)

 

Pero 400 x2 = (20x)2 y 20 (7x) = 7 (6x), podemos escribir el trinomio de la siguiente forma;

factorizacion_24.jpg (600×50)

 

Ahora, factorizamos como aprendiste en el caso anterior, repasemos;

El trinomio se descompone en dos binomios, donde el primer término de ellos será la raíz cuadrada de (20 x)2, o sea 20 x.

Cuando el segundo término del trinomio es positivo y tercer término negativo, los binomios tendrán signo destinos, donde el número de mayor valor absoluto será positivo.

Los segundos términos de los binomios serán dos números que sumados den 7 y multiplicados den – 120.

factorizacion_25.jpg (660×130)

 

Para cancelar la multiplicación por 20, tenemos que dividir por 20, para esto sacamos el factor común de cada binomio y dividimos;

 

factorizacion_26.jpg (600×240)

Respuesta: 20 x2 + 7x – 6 = (4x + 3) (5x – 2).


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Factorizar una expresión algebraica (o suma de términos algebraicos), es el procedimiento que permite escribir como multiplicación dicha expresión. Los factores o divisores de una expresión algebraica, son los términos, ya sean  números y/o letras, que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión. Así, por ejemplo, si multiplicamos a por a + b podemos ver qué;
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