- ¿Existen raíces cuadradas de números negativos? | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS
- 1. Cuadrado de un número
- 2. Raíz cuadrada de un número
- 3. Producto de raíces
- 4. Raíz cuadrada de un negativo
- 5. Ecuaciones de segundo grado
- 6. Alusión a los complejos
- 7. Problemas resueltos
- ¿Existen raíces cuadradas negativas? – Preguntas frecuentes
Sí, existe la raíz cuadrada de un número negativo.
En esta página resolvemos la pregunta ¿existe la raíz cuadrada de un número negativo? La respuesta es que sí a pesar de que, en teoría, el cuadrado de un número no puede ser negativo. Para poder comprender la existencia de las raíces de negativos, recordaremos algunos conceptos y propiedades de las potencias y raíces, llegando finalmente a la definición de los números imaginarios. También, resolvemos algunos problemas.
Contenido de esta página:
- Cuadrado de un número
- Raíz cuadrada de un número
- Producto de raíces
- Raíz cuadrada de un negativo
- Ecuaciones de segundo grado
- Alusión a los complejos
- Problemas resueltos
1. Cuadrado de un número
El cuadrado de un número es
El número se dice que es una potencia de base y exponente 2.
Por ejemplo, calculamos el cuadrado de 2 y de 3:
Si la base es un número negativo, debemos escribir la potencia con paréntesis:
Nota: recuerda que el producto de dos números negativos es positivo (regla de los signos).
Si no escribimos el paréntesis, el signo queda fuera de la potencia:
Hemos aprendido que, en teoría,
El cuadrado de un número nunca es negativo.
Y esto es lo mismo que decir
No existe la raíz de un número negativo.
Sin embargo, esto no tiene por qué ser así, como veremos a continuación.
Nota: no es correcto decir que el cuadrado de un número siempre es positivo puesto que el cuadrado de 0 es 0 y no es positivo.
2. Raíz cuadrada de un número
La raíz cuadrada del número se denota por y es el número tal que
. Es decir,
Por ejemplo,
Ahora bien, hay que tener en cuenta que, en realidad, un número tiene 2 raíces cuadradas.
Por ejemplo, las raíces cuadradas de 4 son 2 y -2:
Por esta razón, cuando calculamos la raíz cuadrada de un número, tenemos que escribir el signo
:
No obstante, por comodidad, solemos omitir el signo
, reservándolo para las ocasiones en que es absolutamente necesario.
3. Producto de raíces
Una importante propiedad de las raíces es la siguiente:
La raíz de un producto de factores es igual al producto de las raíces de los factores.
Es decir,
Por ejemplo,
Otra propiedad importante es que el cuadrado de la raíz cuadrada de un número es dicho número:
Por ejemplo,
4. Raíz cuadrada de un negativo
En teoría, no existe la raíz cuadrada de un número negativo porque ningún número al cuadrado es negativo. Sin embargo, esto supone un inconveniente para resolver algunos problemas o ecuaciones matemáticas, por lo que se inventaron los números imaginarios.
La unidad imaginaria es y se define como la raíz cuadrada de -1:
El cuadrado de la unidad imaginaria es -1:
Con la invención del número imaginario ya podemos trabajar con raíces cuadradas de números negativos (nos ayudaremos de la propiedad del producto de raíces).
Veamos algunos ejemplos:
- Raíces cuadradas de -4:
- Raíces cuadradas de -25:
Observa que, entonces, sí hay números cuyo cuadrado es negativo: los números imaginarios.
Por ejemplo,
Los números imaginarios, como números que son, se pueden sumar y restar:
Y, también, se pueden multiplicar y dividir:
Nota: hemos escrito como una raíz y aplicado la propiedad del cuadrado de una raíz cuadrada.
5. Ecuaciones de segundo grado
Con los números imaginarios ya podemos resolver algunas ecuaciones de segundo grado cuyas soluciones son las raíces de números negativos.
Ejemplo 1: las soluciones de la ecuación
son y
Ejemplo 2: las soluciones de la ecuación
son y
6. Alusión a los complejos
Para no complicar demasiado estos conceptos, sólo diremos que existen unos números, los números complejos (), que están formados por una suma (o resta) de un número real y un número imaginario.
Ejemplos de números complejos:
Los números complejos se utilizan, por ejemplo, en la resolución de algunas ecuaciones de segundo grado.
Ejemplo: Las soluciones de la ecuación
son los números complejos y
Los números complejos son un anillo dotado de suma y producto, , y los números reales, , son un subanillo de éstos.
7. Problemas resueltos
Problema 1
Calcular el cuadrado de 1, -2, 3, y -4.
El cuadrado de un número se calcula multiplicando el número por sí mismo.
1.Cuadrado de 1:
2.Cuadrado de -2:
3.Cuadrado de 3:
4.Cuadrado de -4:
Problema 2
Calcular las raíces cuadradas de 4, 9, 16 y 25.
1.Las raíces cuadradas de 4 son
:
2.Las raíces cuadradas de 9 son
:
3.Las raíces cuadradas de 16 son
:
4.Las raíces cuadradas de 25 son
:
Problema 3
Resolver las siguientes ecuaciones:
Primera ecuación:
Las soluciones de la ecuación son y
.
Segunda ecuación:
Las soluciones de la ecuación son y
Problema 4
1.Calcular las raíces cuadradas de -9 y -16.
2.Calculamos las raíces cuadradas de -9:
3.Calculamos las raíces cuadradas de -16:
Problema 5
1.Calcular las raíces cuadradas de -6 y -8.
2.Calculamos las raíces cuadradas de -6:
3.Calculamos las raíces cuadradas de -8:
Problema 6
Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas :
Primera ecuación:
Segunda ecuación:
