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Ecuaciones en derivadas parciales | Curso de Ecuaciones diferenciales

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La ecuación del calor de Laplace.

En matemáticas, si se le da un subconjunto abierto $U$ de $ℝ ny$ un subintervalo $I$ de $ℝ$ , se dice que una función $u : U \times I \to ℝ$ es una solución de la ecuación de calor si

{\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}},

donde $(x 1,\dots, x n, t)$ denota un punto general del dominio. Es típico referirse a $t$ como “tiempo” y $x 1,\dots, x n$ como “variables espaciales”, incluso en contextos abstractos donde estas frases no tienen su significado intuitivo. La colección de variables espaciales a menudo se denomina simplemente $x$ . Para cualquier valor dado de $t$ , el lado derecho de la ecuación es el laplaciano de la función $u (\cdot, t): U \to ℝ$ . Como tal, la ecuación de calor a menudo se escribe de manera más compacta como

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u.$

En contextos de física e ingeniería, especialmente en el contexto de difusión a través de un medio, es más común fijar un sistema de coordenadas cartesianas y luego considerar el caso específico de una función $u (x, y, z, t)$ de tres variables espaciales. $(x, y, z)$ y variable de tiempo $t$ . Entonces se dice que $u$ es una solución de la ecuación de calor si

{\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)

en el que $α$ es un coeficiente positivo llamado difusividad térmica del medio. Además de otros fenómenos físicos, esta ecuación describe el flujo de calor en un medio homogéneo e isótropo, siendo $u (x, y, z, t)$ la temperatura en el punto $(x, y, z)$ y en el tiempo $t$ . Si el medio no es homogéneo e isótropo, entonces $α$ no sería un coeficiente fijo, sino que dependería de $(x, y, z)$ ; la ecuación también tendría una forma ligeramente diferente. En la literatura de física e ingeniería, es común usar $\nabla 2$ para denotar el laplaciano, en lugar de $∆$ .En matemáticas, así como en física e ingeniería, es común usar la notación de Newton para las derivadas del tiempo, de modo que ${\dot {u}}$ se usa para denotar $\partialu / \partialt$ . Tenga en cuenta también que la capacidad de utilizar $∆$ o $\nabla 2$ para denotar el Laplaciano, sin una referencia explícita a las variables espaciales, es un reflejo del hecho de que el Laplaciano es independiente de la elección del sistema de coordenadas. En términos matemáticos, uno diría que el laplaciano es “traslacional y rotacionalmente invariante”. De hecho, es (en términos generales) el operador diferencial más simple que tiene estas simetrías. Esto puede tomarse como una justificación significativa (y puramente matemática) del uso del Laplaciano y de la ecuación del calor para modelar cualquier fenómeno físico que sea homogéneo e isotrópico, del cual la difusión del calor es un ejemplo principal.La “constante de difusividad” $α a$ menudo no está presente en los estudios matemáticos de la ecuación del calor, mientras que su valor puede ser muy importante en ingeniería. Ésta no es una diferencia importante, por la siguiente razón. Sea $u$ una función con

{\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \Delta u.

Definir una nueva función $v(t,x)=u(t/\alpha ,x)$ . Entonces, de acuerdo con la regla de la cadena , uno tiene

{\frac {\partial }{\partial t}}v(t,x)={\frac {\partial }{\partial t}}u(t/\alpha ,x)=\alpha ^{-1}{\frac {\partial u}{\partial t}}(t/\alpha ,x)=\Delta u(t/\alpha ,x)=\Delta v(t,x)

( ⁎ )

Por lo tanto, existe una manera sencilla de traducir entre soluciones de la ecuación de calor con un valor general de $α$ y soluciones de la ecuación de calor con $α = 1$ . Como tal, por el bien del análisis matemático, a menudo es suficiente considerar solo el caso $α = 1$ .Desde $\alpha >0$ hay otra opción para definir un $v$ satisfactorio ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}v=\Delta v}$ como en ( ⁎ ) arriba configurando $v(t,x)=u(t,\alpha ^{-1/2}x)$ . Tenga en cuenta que los dos posibles medios para definir la nueva función $v$ discutido aquí equivale, en términos físicos, a cambiar la unidad de medida de tiempo o la unidad de medida de longitud.

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Interpretación física de la ecuación

De manera informal, el operador laplaciano $∆$ da la diferencia entre el valor promedio de una función en la vecindad de un punto y su valor en ese punto. Por lo tanto, si $u$ es la temperatura, $∆$ indica si (y en qué medida) el material que rodea cada punto es más caliente o más frío, en promedio, que el material en ese punto.

Según la segunda ley de la termodinámica , el calor fluirá de los cuerpos más calientes a los cuerpos más fríos adyacentes, en proporción a la diferencia de temperatura y de la conductividad térmica del material entre ellos. Cuando el calor fluye hacia (respectivamente, fuera de) un material, su temperatura aumenta (respectivamente, disminuye), en proporción a la cantidad de calor dividida por la cantidad ( masa ) de material, con un factor de proporcionalidad llamado capacidad calorífica específica del material.

Mediante la combinación de estas observaciones, la ecuación de calor dice que la tasa ${\dot {u}}$ en el cual el material en un punto se calentará (o enfriará) es proporcional a cuánto más caliente (o más frío) está el material circundante. El coeficiente $α$ en la ecuación tiene en cuenta la conductividad térmica, el calor específico y la densidad del material.

Interpretación matemática de la ecuación

La primera mitad del pensamiento físico anterior se puede poner en forma matemática. La clave es que, para cualquier $x$ fija , uno tiene

${\begin{aligned}u_{(x)}(0)&=u(x)\\u_{(x)}'(0)&=0\\u_{(x)}''(0)&={\frac {1}{n}}\Delta u(x)\end{aligned}}$

donde $u (x) (r)$ es la función de una sola variable que denota el valor promedio de $u$ sobre la superficie de la esfera de radio $r$ centrada en $x$ ; puede ser definido por

$u_{(x)}(r)={\frac {1}{\omega _{n-1}r^{n-1}}}\int _{\{y:|x-y|=r\}}u\,d{\mathcal {H}}^{n-1},$

en el que $w n - 1$ denota el área de la superficie de la bola unidad en $n$ espacio euclidiano -dimensional. Esto formaliza la afirmación anterior de que el valor de $∆ u$ en un punto $x$ mide la diferencia entre el valor de $u (x)$ y el valor de $u$ en puntos cercanos $ax$ , en el sentido de que este último está codificado por los valores de $u (x) (r)$ para pequeños valores positivos de $r$ .

Siguiendo esta observación, se puede interpretar que la ecuación de calor impone un promedio infinitesimal de una función. Dada una solución de la ecuación del calor, el valor de $u (x, t + τ)$ para un pequeño valor positivo de $τ$ puede aproximarse como $1 / 2 n$ multiplicado por el valor medio de la función $u (\cdot, t)$ sobre una esfera de radio muy pequeño centrada en $x$ .

Carácter de las soluciones

Solución de una ecuación diferencial parcial de calor 1D. La temperatura (

u

) se distribuye inicialmente en un intervalo unidimensional de una unidad de longitud ( x = [0,1]) con extremos aislados. La distribución se acerca al equilibrio a lo largo del tiempo.

El comportamiento de la temperatura cuando los lados de una varilla 1D están a temperaturas fijas (en este caso, 0,8 y 0 con distribución gaussiana inicial). La temperatura se acerca a una función lineal porque esa es la solución estable de la ecuación: donde la temperatura tiene una segunda derivada espacial distinta de cero, la derivada del tiempo también es distinta de cero.

La ecuación de calor implica que los picos ( máximos locales ) de $u$ se irá erosionando gradualmente, mientras que las depresiones ( mínimos locales ) se rellenarán. El valor en algún punto permanecerá estable sólo mientras sea igual al valor medio en su entorno inmediato. En particular, si los valores en un vecindario están muy cerca de una función lineal $Ax+By+Cz+D$ , entonces el valor en el centro de ese vecindario no cambiará en ese momento (es decir, la derivada ${\dot {u}}$ será cero).

Una consecuencia más sutil es el principio máximo , que dice que el valor máximo de $u$ en cualquier región $R$ del medio no excederá el valor máximo que ocurría previamente en $R$ , a menos que esté en el límite de $R$ . Es decir, la temperatura máxima en una región $R$ puede aumentar solo si el calor viene del exterior $R$ . Esta es una propiedad de las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas y no es difícil de probar matemáticamente (ver más abajo).

Otra propiedad interesante es que incluso si $u$ inicialmente tiene un salto brusco (discontinuidad) de valor a través de alguna superficie dentro del medio, el salto es inmediatamente suavizado por una velocidad de flujo de calor momentánea, infinitesimalmente corta pero infinitamente grande a través de esa superficie. Por ejemplo, si dos cuerpos aislados, inicialmente a temperaturas uniformes pero diferentes $u_{0}$ y $u_{1}$ , están hechos para tocarse, la temperatura en el punto de contacto asumirá inmediatamente algún valor intermedio, y se desarrollará una zona alrededor de ese punto donde $u$ variará gradualmente entre $u_{0}$ y $u_{1}$ .

Si una cierta cantidad de calor se aplica repentinamente a un punto del medio, se esparcirá en todas direcciones en forma de onda de difusión . A diferencia de las ondas elásticas y electromagnéticas , la velocidad de una onda de difusión disminuye con el tiempo: a medida que se extiende sobre una región más grande, el gradiente de temperatura disminuye y, por lo tanto, el flujo de calor también disminuye.

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Ejemplos específicos

Flujo de calor en una varilla uniforme

Para el flujo de calor, la ecuación del calor se deriva de las leyes físicas de conducción de calor y conservación de energía ( Cannon 1984 ).

Según la ley de Fourier para un medio isotrópico, la tasa de flujo de energía térmica por unidad de área a través de una superficie es proporcional al gradiente de temperatura negativo a través de ella:

$\mathbf {q} =-k\,\nabla u$

dónde $k$ es la conductividad térmica del material, $u=u(\mathbf {x} ,t)$ es la temperatura, y $\mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)$ es un campo vectorial que representa la magnitud y la dirección del flujo de calor en el punto $\mathbf {x}$ de espacio y tiempo $t$ .

Si el medio es una varilla delgada de sección y material uniformes, la posición es una sola coordenada $x$ , el flujo de calor hacia el aumento $x$ es un campo escalar $q=q(t,x)$ , y el gradiente es una derivada ordinaria con respecto a la $x$ . La ecuación se convierte en

$q=-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}$

Dejar $Q=Q(x,t)$ sea la energía térmica interna por unidad de volumen de la barra en cada punto y momento. En ausencia de generación de energía térmica, de fuentes externas o internas, la tasa de cambio en la energía térmica interna por unidad de volumen en el material, $\partial Q/\partial t$ , es proporcional a la tasa de cambio de su temperatura, $\partial u/\partial t$ . Es decir,

${\frac {\partial Q}{\partial t}}=c\,\rho \,{\frac {\partial u}{\partial t}}$

dónde $c$ es la capacidad calorífica específica (a presión constante, en el caso de un gas) y $\rho$ es la densidad (masa por unidad de volumen) del material. Esta derivación supone que el material tiene una densidad de masa y una capacidad calorífica constantes a través del espacio y del tiempo.

Aplicando la ley de conservación de la energía a un pequeño elemento del medio centrado en $x$ , se concluye que la velocidad a la que se acumula el calor en un punto dado $x$ es igual a la derivada del flujo de calor en ese punto, negado. Es decir,

${\frac {\partial Q}{\partial t}}=-{\frac {\partial q}{\partial x}}$

De las ecuaciones anteriores se deduce que

${\frac {\partial u}{\partial t}}\;=\;-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial q}{\partial x}}\;=\;-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\;=\;{\frac {k}{c\rho }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

que es la ecuación de calor en una dimensión, con coeficiente de difusividad

$\alpha ={\frac {k}{c\rho }}$

Esta cantidad se denomina difusividad térmica del medio.

Contabilización de la pérdida radiativa

Puede introducirse un término adicional en la ecuación para tener en cuenta la pérdida de calor por radiación. Según la ley de Stefan-Boltzmann , este término es $\mu \left(u^{4}-v^{4}\right)$ , dónde $v=v(x,t)$ es la temperatura del entorno, y $\mu$ es un coeficiente que depende de las propiedades físicas del material. La tasa de cambio en la energía interna se vuelve

${\frac {\partial Q}{\partial t}}=-{\frac {\partial q}{\partial x}}-\mu \left(u^{4}-v^{4}\right)$

y la ecuación para la evolución de $u$ se convierte en

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {k}{c\rho }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\mu }{c\rho }}\left(u^{4}-v^{4}\right).$

Medio isotrópico no uniforme

Tenga en cuenta que la ecuación de estado, dada por la primera ley de la termodinámica (es decir, conservación de la energía), se escribe de la siguiente forma (asumiendo que no hay transferencia de masa o radiación). Esta forma es más general y particularmente útil para reconocer qué propiedad (por ejemplo, c _p o $\rho$ ) influye en qué término.

$\rho c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}-\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)={\dot {q}}_{V}$

dónde ${\dot {q}}_{V}$ es la fuente de calor volumétrica.

Problema tridimensional

En los casos especiales de propagación de calor en un medio isótropo y homogéneo en un espacio tridimensional , esta ecuación es

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)$ $=\alpha \left(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}\right)$

dónde:

$u=u(x,y,z,t)$ es la temperatura en función del espacio y el tiempo;
${\tfrac {\partial u}{\partial t}}$ es la tasa de cambio de temperatura en un punto a lo largo del tiempo;
$u_{xx}$ , $u_{yy}$ , y $u_{zz}$ son las segundas derivadas espaciales ( conducciones térmicas ) de la temperatura en el $x$ , $y$ , y $z$ direcciones, respectivamente;
$\alpha \equiv {\tfrac {k}{c_{p}\rho }}$ es la difusividad térmica , una cantidad específica del material que depende de la conductividad térmica $k$ , la capacidad calorífica específica $c_p$ y la densidad de masa $\rho$ .

La ecuación de calor es una consecuencia de la ley de conducción de Fourier (ver conducción de calor ).

Si el medio no es todo el espacio, para resolver la ecuación de calor de forma única también necesitamos especificar las condiciones de contorno para u . Para determinar la unicidad de las soluciones en todo el espacio es necesario asumir condiciones adicionales, por ejemplo, un límite exponencial en el crecimiento de las soluciones ^[2] o una condición de signo (las soluciones no negativas son únicas por un resultado de David Widder ). ^[3]

Las soluciones de la ecuación del calor se caracterizan por un suavizado gradual de la distribución de temperatura inicial por el flujo de calor de las áreas más cálidas a las más frías de un objeto. Generalmente, muchos estados y condiciones iniciales diferentes tenderán hacia el mismo equilibrio estable . Como consecuencia, invertir la solución y concluir algo sobre tiempos anteriores o condiciones iniciales a partir de la distribución de calor actual es muy inexacto, excepto en los períodos de tiempo más cortos.

La ecuación de calor es el ejemplo prototípico de una ecuación diferencial parcial parabólica .

Usando el operador de Laplace , la ecuación de calor se puede simplificar y generalizar a ecuaciones similares en espacios de un número arbitrario de dimensiones, como

$u_{t}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \Delta u,$

donde el operador de Laplace, Δ o ∇ ² , la divergencia del gradiente, se toma en las variables espaciales.

La ecuación del calor gobierna la difusión del calor, así como otros procesos de difusión , como la difusión de partículas o la propagación del potencial de acción en las células nerviosas. Aunque no son de naturaleza difusiva, algunos problemas de mecánica cuántica también se rigen por un análogo matemático de la ecuación del calor (ver más abajo). También se puede utilizar para modelar algunos fenómenos que surgen en las finanzas , como los procesos Black-Scholes o Ornstein-Uhlenbeck . La ecuación y varios análogos no lineales también se han utilizado en el análisis de imágenes.

La ecuación de calor es, técnicamente, una violación de la relatividad especial , porque sus soluciones implican la propagación instantánea de una perturbación. La parte de la perturbación fuera del cono de luz delantero generalmente se puede ignorar con seguridad, pero si es necesario desarrollar una velocidad razonable para la transmisión de calor, se debe considerar un problema hiperbólico , como una ecuación diferencial parcial que involucra un segundo orden. derivada del tiempo. Algunos modelos de conducción de calor no lineal (que también son ecuaciones parabólicas) tienen soluciones con velocidad de transmisión de calor finita. ^[4]^[5]

Generación de calor interno

La función u anterior representa la temperatura de un cuerpo. Alternativamente, a veces es conveniente cambiar las unidades y representar u como la densidad de calor de un medio. Dado que la densidad del calor es proporcional a la temperatura en un medio homogéneo, la ecuación del calor aún se sigue en las nuevas unidades.

Suponga que un cuerpo obedece a la ecuación del calor y, además, genera su propio calor por unidad de volumen (p. Ej., En vatios / litro – W / L) a una velocidad dada por una función conocida q que varía en el espacio y el tiempo. ^[6] Entonces el calor por unidad de volumen u satisface una ecuación

${\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial u}{\partial t}}=\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{k}}q.$

Por ejemplo, un filamento de bombilla de tungsteno genera calor, por lo que tendría un valor positivo distinto de cero para q cuando se enciende. Mientras la luz está apagada, el valor de q para el filamento de tungsteno sería cero.

Resolver la ecuación de calor usando la serie de Fourier

Entorno físico idealizado para la conducción de calor en una varilla con condiciones de contorno homogéneas.

Joseph Fourier propuso la siguiente técnica de solución para la ecuación de calor en su tratado Théorie analytique de la chaleur , publicado en 1822. Considere la ecuación de calor para una variable espacial. Esto podría usarse para modelar la conducción de calor en una varilla. La ecuación es

\displaystyle u_{t}=\alpha u_{xx}

( 1 )

donde u = u ( x , t ) es una función de dos variables x y t . Aquí

x es la variable espacial, entonces x ∈ [0, L ], donde L es la longitud de la varilla.
t es la variable de tiempo, entonces t ≥ 0.

Asumimos la condición inicial

u(x,0)=f(x)\quad \forall x\in [0,L]

( 2 )

donde se da la función f , y las condiciones de contorno

u(0,t)=0=u(L,t)\quad \forall t>0

( 3 )

Intentemos encontrar una solución de ( 1 ) que no sea idénticamente cero que satisfaga las condiciones de contorno ( 3 ) pero con la siguiente propiedad: u es un producto en el que la dependencia de u en x , t está separada, es decir:

\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t).

( 4 )

Esta técnica de solución se llama separación de variables . Sustituyendo u de nuevo en la ecuación ( 1 ),

{\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.

Dado que el lado derecho depende solo de x y el lado izquierdo solo de t , ambos lados son iguales a algún valor constante −λ. Por lo tanto:

T'(t)=-\lambda \alpha T(t)

( 5 )

y

X''(x)=-\lambda X(x).

( 6 )

Ahora mostraremos que no pueden ocurrir soluciones no triviales para ( 6 ) para valores de λ ≤ 0:

Suponga que λ <0. Entonces existen números reales B , C tales que

$X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}.$

De ( 3 ) obtenemos X (0) = 0 = X ( L ) y por lo tanto B = 0 = C lo que implica que u es idénticamente 0.
Supongamos que λ = 0. Entonces existen números reales B , C de tal manera que X ( x ) = Bx + C . De la ecuación ( 3 ) concluimos de la misma manera que en 1 que u es idénticamente 0.
Por lo tanto, debe darse el caso de que λ> 0. Entonces existen números reales A , B , C tales que

$T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t}$

y

$X(x)=B\sin \left({\sqrt {\lambda }}\,x\right)+C\cos \left({\sqrt {\lambda }}\,x\right).$

De ( 3 ) obtenemos C = 0 y que para algún entero positivo n ,

${\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.$

Esto resuelve la ecuación de calor en el caso especial de que la dependencia de u tenga la forma especial ( 4 ).En general, la suma de las soluciones de ( 1 ) que satisfacen las condiciones de contorno ( 3 ) también satisface ( 1 ) y ( 3 ). Podemos demostrar que la solución de ( 1 ), ( 2 ) y ( 3 ) está dada por

u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}}

dónde

D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx.

Generalizando la técnica de la soluciónLa técnica de solución utilizada anteriormente se puede extender enormemente a muchos otros tipos de ecuaciones. La idea es que el operador u _xx con condiciones de frontera cero se puede representar en términos de sus funciones propias . Esto conduce naturalmente a una de las ideas básicas de la teoría espectral de los operadores lineales autoadjuntos .Considere el operador lineal Δ u = u _xx . La secuencia infinita de funciones

e_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)

para n ≥ 1 son funciones propias de Δ. En efecto,

\Delta e_{n}=-{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}e_{n}.

Además, cualquier función propia f de Δ con las condiciones de contorno f (0) = f ( L ) = 0 es de la forma e _n para algunos n ≥ 1. Las funciones e _n para n ≥ 1 forman una secuencia ortonormal con respecto a un cierto producto interno en el espacio de funciones de valor real en [0, L ]. Esto significa

\langle e_{n},e_{m}\rangle =\int _{0}^{L}e_{n}(x)e_{m}^{*}(x)dx=\delta _{mn}

Finalmente, la secuencia { e _n } _{n ∈ N} abarca un subespacio lineal denso de L ² ((0, L )). Esto muestra que, en efecto, hemos diagonalizado al operador Δ.

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Conducción de calor en medios anisotrópicos no homogéneos

En general, el estudio de la conducción de calor se basa en varios principios. El flujo de calor es una forma de flujo de energía y, como tal, es significativo hablar de la tasa de flujo de calor en el tiempo en una región del espacio.

La tasa de flujo de calor en el tiempo en una región V viene dada por una cantidad q _t ( V ) dependiente del tiempo . Suponemos que q tiene una densidad Q , de modo que

$q_{t}(V)=\int _{V}Q(x,t)\,dx\quad$
El flujo de calor es una función vectorial H ( x ) dependiente del tiempo que se caracteriza de la siguiente manera: la tasa de tiempo del calor que fluye a través de un elemento de superficie infinitesimal con área dS y con vector normal unitario n es

$\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS$

Por tanto, la tasa de flujo de calor en V también viene dada por la integral de superficie

$q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS$

donde n ( x ) es el vector normal que apunta hacia afuera en x .
La ley de Fourier establece que el flujo de energía térmica tiene la siguiente dependencia lineal del gradiente de temperatura

$\mathbf {H} (x)=-\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)$

donde A ( x ) es una matriz real de 3 × 3 que es simétrica y definida positiva .
Por el teorema de la divergencia , la integral de superficie anterior para el flujo de calor en V se puede transformar en la integral de volumen

${\begin{aligned}q_{t}(V)&=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{\partial V}\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{V}\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}\,dx\end{aligned}}$
La tasa de cambio de temperatura en el tiempo en x es proporcional al calor que fluye hacia un elemento de volumen infinitesimal, donde la constante de proporcionalidad depende de una constante κ

$\partial _{t}u(x,t)=\kappa (x)Q(x,t)$

Al juntar estas ecuaciones se obtiene la ecuación general del flujo de calor:

\partial _{t}u(x,t)=\kappa (x)\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}

Observaciones .

El coeficiente κ ( x ) es la inversa del calor específico de la sustancia en x × densidad de la sustancia en x : $\kappa =1/(\rho c_{p})$ .
En el caso de un medio isotrópico, la matriz A es una matriz escalar igual a la conductividad térmica k .
En el caso anisotrópico donde la matriz de coeficientes A no es escalar y / o si depende de x , entonces rara vez se puede escribir una fórmula explícita para la solución de la ecuación de calor, aunque generalmente es posible considerar el problema abstracto de Cauchy asociado. y demostrar que es un problema bien planteado y / o mostrar algunas propiedades cualitativas (como preservación de datos iniciales positivos, velocidad de propagación infinita, convergencia hacia un equilibrio, propiedades de suavizado). Esto generalmente se hace mediante la teoría de semigrupos de un parámetro : por ejemplo, si A es una matriz simétrica, entonces el operador elíptico definido por

$Au(x):=\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x)$

Es autoadjunto y disipativo, por lo que según el teorema espectral genera un semigrupo de un parámetro .

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Soluciones fundamentales

Una solución fundamental , también llamada núcleo de calor , es una solución de la ecuación de calor correspondiente a la condición inicial de una fuente puntual inicial de calor en una posición conocida. Estos pueden usarse para encontrar una solución general de la ecuación de calor en ciertos dominios; ver, por ejemplo, ( Evans 2010 ) para un tratamiento introductorio.En una variable, la función de Green es una solución del problema del valor inicial (según el principio de Duhamel , equivalente a la definición de la función de Green como una con una función delta como solución a la primera ecuación)

{\begin{cases}u_{t}(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0&(x,t)\in \mathbf {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=\delta (x)&\end{cases}}

donde δ es la función delta de Dirac . La solución a este problema es la solución fundamental ( núcleo de calor )

\Phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right).

Se puede obtener la solución general de la ecuación de calor de una variable con la condición inicial u ( x , 0) = g ( x ) para −∞ < x <∞ y 0 < t <∞ aplicando una convolución :

u(x,t)=\int \Phi (x-y,t)g(y)dy.

En varias variables espaciales, la solución fundamental resuelve el problema análogo

{\begin{cases}u_{t}(\mathbf {x} ,t)-k\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}(\mathbf {x} ,t)=0&(\mathbf {x} ,t)\in \mathbf {R} ^{n}\times (0,\infty )\\u(\mathbf {x} ,0)=\delta (\mathbf {x} )\end{cases}}

La solución fundamental de n -variable es el producto de las soluciones fundamentales en cada variable; es decir,

\Phi (\mathbf {x} ,t)=\Phi (x_{1},t)\Phi (x_{2},t)\cdots \Phi (x_{n},t)={\frac {1}{\sqrt {(4\pi kt)^{n}}}}\exp \left(-{\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }{4kt}}\right).

La solución general de la ecuación de calor en R ⁿ se obtiene mediante una convolución, de modo que para resolver el problema del valor inicial con u ( x , 0) = g ( x ), se tiene

u(\mathbf {x} ,t)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Phi (\mathbf {x} -\mathbf {y} ,t)g(\mathbf {y} )d\mathbf {y} .

El problema general en un dominio Ω en R ⁿ es

{\begin{cases}u_{t}(\mathbf {x} ,t)-k\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}(\mathbf {x} ,t)=0&(\mathbf {x} ,t)\in \Omega \times (0,\infty )\\u(\mathbf {x} ,0)=g(\mathbf {x} )&\mathbf {x} \in \Omega \end{cases}}

con datos de límites de Dirichlet o Neumann . Una función de Green existe siempre, pero a menos que el dominio Ω se puede descomponer fácilmente en problemas de una variable (véase más adelante), puede que no sea posible escribirlo de forma explícita. Otros métodos para obtener las funciones de Green incluyen el método de imágenes , separación de variables y transformadas de Laplace.

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Algunas soluciones de función de Green en 1D

Aquí se registra una variedad de soluciones de funciones elementales de Green en una dimensión; muchos otros están disponibles en otros lugares. ^[7] En algunos de estos, el dominio espacial es (−∞, ∞). En otros, es el intervalo semi-infinito (0, ∞) con condiciones de frontera de Neumann o de Dirichlet . Una variación más es que algunos de estos resuelven la ecuación no homogénea

u_{t}=ku_{xx}+f.

donde f es una función dada de x y t .Ecuación de calor homogénea

Problema de valor inicial en (−∞, ∞)

{\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in \mathbf {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&IC\end{cases}}

u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)g(y)\,dy

Solución fundamental de la ecuación de calor unidimensional. Rojo: curso temporal de

\Phi (x,t)

. Azul: cursos de tiempo de

\Phi (x_{0},t)

para dos puntos seleccionados x ₀ = 0,2 y x ₀ = 1. Tenga en cuenta los diferentes tiempos de subida / retardos y amplitudes.
Versión interactiva.

Comentar . Esta solución es la convolución con respecto a la variable x de la solución fundamental

\Phi (x,t):={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right),

y la función g ( x ). (El número de función de Green de la solución fundamental es X00).Por lo tanto, de acuerdo con las propiedades generales de la convolución con respecto a la diferenciación, u = g ∗ Φ es una solución de la misma ecuación de calor, para

\left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *g)=\left[\left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)\Phi \right]*g=0.

Es más,

\Phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {t}}}\,\Phi \left({\frac {x}{\sqrt {t}}},1\right)

\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (x,t)\,dx=1,

de modo que, por hechos generales sobre la aproximación a la identidad , Φ (⋅, t ) ∗ g → g cuando t → 0 en varios sentidos, de acuerdo con el g específico . Por ejemplo, si se supone que g es acotado y continuo en R, entonces Φ (⋅, t ) ∗ g converge uniformemente en g cuando t → 0, lo que significa que u ( x , t ) es continuo en R × [0, ∞) con u ( x , 0) = g ( x ).

Problema de valor inicial en (0, ∞) con condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas

{\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&IC\\u(0,t)=0&BC\end{cases}}

u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy

Comentario. Esta solución se obtiene de la fórmula anterior aplicada a los datos g ( x ) adecuadamente extendidos a R , de modo que sea una función impar , es decir, dejando g (- x ): = – g ( x ) para todo x . En consecuencia, la solución del problema de valor inicial en (−∞, ∞) es una función impar con respecto a la variable x para todos los valores de t , y en particular satisface las condiciones de frontera de Dirichlet homogéneas u (0, t ) = 0 El número de función de Green de esta solución es X10.

Problema de valor inicial en (0, ∞) con condiciones de contorno de Neumann homogéneas

{\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&IC\\u_{x}(0,t)=0&BC\end{cases}}

u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy

Comentario. Esta solución se obtiene a partir de la primera fórmula de solución aplicada a los datos g (x) adecuadamente extendidos a R para ser una función par , es decir, dejando g (- x ): = g ( x ) para todo x . En consecuencia, la solución del problema del valor inicial en R es una función par con respecto a la variable x para todos los valores de t > 0, y en particular, al ser suave, satisface las condiciones de frontera homogéneas de Neumann u _x (0, t ) = 0. El número de función de Green de esta solución es X20.

Problema en (0, ∞) con condiciones iniciales homogéneas y condiciones de frontera de Dirichlet no homogéneas

{\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&IC\\u(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}

u(x,t)=\int _{0}^{t}{\frac {x}{\sqrt {4\pi k(t-s)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4k(t-s)}}\right)h(s)\,ds,\qquad \forall x>0

Comentar . Esta solución es la convolución con respecto a la variable t de

\psi (x,t):=-2k\partial _{x}\Phi (x,t)={\frac {x}{\sqrt {4\pi kt^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)

y la función h ( t ). Dado que Φ ( x , t ) es la solución fundamental de

\partial _{t}-k\partial _{x}^{2},

la función ψ ( x, t ) también es una solución de la misma ecuación de calor, y también lo es u : = ψ ∗ h , gracias a las propiedades generales de la convolución con respecto a la diferenciación. Es más,

\psi (x,t)={\frac {1}{x^{2}}}\,\psi \left(1,{\frac {t}{x^{2}}}\right)

\int _{0}^{\infty }\psi (x,t)\,dt=1,

de modo que, por hechos generales sobre la aproximación a la identidad , ψ ( x , ⋅) ∗ h → h cuando x → 0 en varios sentidos, según la h específica . Por ejemplo, si se supone que h es continua en R con soporte en [0, ∞) entonces ψ ( x , ⋅) ∗ h converge uniformemente en compacta ah cuando x → 0, lo que significa que u ( x, t ) es continua en [ 0, ∞) × [0, ∞) con u (0, t ) = h ( t ).

Se representa una solución numérica de la ecuación de calor no homogénea. La ecuación se ha resuelto con 0 condiciones iniciales y de contorno y un término fuente que representa un quemador superior.

Ecuación de calor no homogénea

Problema en (-∞, ∞) condiciones iniciales homogéneas

Comentar . Esta solución es la convolución en R ² , es decir con respecto a las variables x y t , de la solución fundamental

\Phi (x,t):={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)

y la función f ( x, t ), ambas significadas como se define en el conjunto R ² e idénticamente 0 para todo t → 0. Uno verifica que

\left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *f)=f,

que expresado en el lenguaje de las distribuciones se convierte en

\left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)\Phi =\delta ,

donde la distribución δ es la función delta de Dirac , que es la evaluación en 0.

Problema en (0, ∞) con condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas y condiciones iniciales

{\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&IC\\u(0,t)=0&BC\end{cases}}

u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dy\,ds

Comentar . Esta solución se obtiene de la fórmula anterior aplicada a los datos f ( x , t ) adecuadamente extendidos a R × [0, ∞), de modo que sea una función impar de la variable x , es decir, dejando f (- x , t ): = – f ( x , t ) para todo x y t . En consecuencia, la solución del problema no homogéneo en (−∞, ∞) es una función impar con respecto a la variable x para todos los valores de t , y en particular satisface las condiciones de frontera de Dirichlet homogéneas u (0, t ) = 0.

Problema en (0, ∞) con condiciones de contorno de Neumann homogéneas y condiciones iniciales

{\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&IC\\u_{x}(0,t)=0&BC\end{cases}}

u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dy\,ds

Comentar . Esta solución se obtiene a partir de la primera fórmula aplicada a los datos f ( x , t ) adecuadamente extendidos a R × [0, ∞), de modo que sea una función par de la variable x , es decir, dejando f (- x , t ): = f ( x , t ) para todo x y t . En consecuencia, la solución del problema no homogéneo en (−∞, ∞) es una función par con respecto a la variable x para todos los valores de t , y en particular, al ser una función suave, satisface las condiciones de frontera de Neumann homogéneas u _x ( 0, t ) = 0.Ejemplos deDado que la ecuación de calor es lineal, las soluciones de otras combinaciones de condiciones de contorno, término no homogéneo y condiciones iniciales se pueden encontrar tomando una combinación lineal apropiada de las soluciones de la función de Green anteriores.Por ejemplo, para resolver

{\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&(x,t)\in \mathbf {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&IC\end{cases}}

sea u = w + v donde w y v resuelven los problemas

{\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx}\,&(x,t)\in \mathbf {R} \times (0,\infty )\\v(x,0)=0,\,w(x,0)=g(x)\,&IC\end{cases}}

Del mismo modo, para resolver

{\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&IC\\u(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}

vamos u = w + v + r , donde w , v , y r resolver los problemas

{\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx},\,r_{t}=kr_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\v(x,0)=0,\;w(x,0)=g(x),\;r(x,0)=0&IC\\v(0,t)=0,\;w(0,t)=0,\;r(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}

Propiedad de valor medio para la ecuación de calor

Soluciones de las ecuaciones de calor

(\partial _{t}-\Delta )u=0

satisfacer una propiedad de valor medio análoga a las propiedades de valor medio de funciones armónicas , soluciones de

\Delta u=0

aunque un poco más complicado. Precisamente, si u resuelve

(\partial _{t}-\Delta )u=0

y

(x,t)+E_{\lambda }\subset \mathrm {dom} (u)

luego

u(x,t)={\frac {\lambda }{4}}\int _{E_{\lambda }}u(x-y,t-s){\frac {|y|^{2}}{s^{2}}}ds\,dy,

donde E _λ es una “bola de calor”, que es un conjunto de superniveles de la solución fundamental de la ecuación de calor:

E_{\lambda }:=\{(y,s):\Phi (y,s)>\lambda \},

\Phi (x,t):=(4t\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{\frac {|x|^{2}}{4t}}\right).

Darse cuenta de

\mathrm {diam} (E_{\lambda })=o(1)

como λ → ∞ por lo que la fórmula anterior es válida para cualquier ( x, t ) en el conjunto (abierto) dom ( u ) para λ lo suficientemente grande. ^[8] Esto se puede demostrar con un argumento similar al análogo para funciones armónicas .

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Ecuación de calor en estado estacionario

La ecuación del calor en estado estable, por definición, no depende del tiempo. En otras palabras, se supone que existen condiciones tales que:

{\frac {\partial u}{\partial t}}=0

Esta condición depende de la constante de tiempo y la cantidad de tiempo transcurrido desde que se impusieron las condiciones de contorno. Por lo tanto, la condición se cumple en situaciones en las que la constante de equilibrio de tiempo es lo suficientemente rápida como para que la ecuación de calor dependiente del tiempo más compleja pueda aproximarse mediante el caso de estado estacionario. De manera equivalente, la condición de estado estable existe para todos los casos en los que ha pasado suficiente tiempo para que el campo térmico u ya no evolucione en el tiempo.En el caso del estado estacionario, puede existir (o no) un gradiente térmico espacial, pero si existe, no cambia con el tiempo. Por lo tanto, esta ecuación describe el resultado final en todos los problemas térmicos en los que se enciende una fuente (por ejemplo, un motor arrancado en un automóvil), y ha pasado suficiente tiempo para que todos los gradientes de temperatura permanentes se establezcan en el espacio, después de lo cual estos los gradientes ya no cambian con el tiempo (como de nuevo, con un automóvil en el que el motor ha estado funcionando durante el tiempo suficiente). La otra solución (trivial) es que todos los gradientes de temperatura espacial también desaparezcan, en cuyo caso la temperatura también se vuelve uniforme en el espacio.La ecuación es mucho más simple y puede ayudar a comprender mejor la física de los materiales sin centrarse en la dinámica del proceso de transporte de calor. Se usa ampliamente para problemas simples de ingeniería asumiendo que existe un equilibrio de los campos de temperatura y el transporte de calor con el tiempo.Condición de estado estable:

{\frac {\partial u}{\partial t}}=0

La ecuación de calor de estado estable para un volumen que contiene una fuente de calor (el caso no homogéneo) es la ecuación de Poisson :

-k\nabla ^{2}u=q

donde u es la temperatura , k es la conductividad térmica y q la densidad de flujo de calor de la fuente.En electrostática , esto es equivalente al caso en el que el espacio considerado contiene una carga eléctrica.La ecuación de calor de estado estable sin una fuente de calor dentro del volumen (el caso homogéneo) es la ecuación en electrostática para un volumen de espacio libre que no contiene una carga. Está descrito por la ecuación de Laplace :

\nabla ^{2}u=0

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Aplicaciones.

Difusión de partículas

Se puede modelar la difusión de partículas mediante una ecuación que incluya:

la concentración volumétrica de partículas, denotada c , en el caso de difusión colectiva de un gran número de partículas, o
la función de densidad de probabilidad asociada a la posición de una sola partícula, denotado P .

En cualquier caso, se usa la ecuación de calor

$c_{t}=D\Delta c,$

o

$P_{t}=D\Delta P.$

Tanto c y P son funciones de la posición y el tiempo. D es el coeficiente de difusión que controla la velocidad del proceso de difusión y normalmente se expresa en metros cuadrados por segundo. Si el coeficiente de difusión D no es constante, pero depende de la concentración c (o P en el segundo caso), se obtiene la ecuación de difusión no lineal .

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Movimiento Browniano

Deje que el proceso estocástico $X$ ser la solución de la ecuación diferencial estocástica

${\begin{cases}\mathrm {d} X_{t}={\sqrt {2k}}\;\mathrm {d} B_{t}\\X_{0}=0\end{cases}}$

dónde $B$ es el proceso de Wiener (movimiento browniano estándar). Entonces la función de densidad de probabilidad de $X$ se da en cualquier momento $t$ por

${\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)$

que es la solución del problema del valor inicial

${\begin{cases}u_{t}(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0,&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,+\infty )\\u(x,0)=\delta (x)\end{cases}}$

dónde $\delta$ es la función delta de Dirac .Ecuación de Schrödinger para una partícula libreCon una simple división, la ecuación de Schrödinger para una sola partícula de masa m en ausencia de cualquier campo de fuerza aplicado se puede reescribir de la siguiente manera:

$\psi _{t}={\frac {i\hbar }{2m}}\Delta \psi$ ,

donde i es la unidad imaginaria , ħ es la constante de Planck reducida y ψ es la función de onda de la partícula.Esta ecuación es formalmente similar a la ecuación de difusión de partículas, que se obtiene mediante la siguiente transformación:

${\begin{aligned}c(\mathbf {R} ,t)&\to \psi (\mathbf {R} ,t)\\D&\to {\frac {i\hbar }{2m}}\end{aligned}}$

Aplicando esta transformación a las expresiones de las funciones de Green determinadas en el caso de la difusión de partículas se obtienen las funciones de Green de la ecuación de Schrödinger , que a su vez se pueden utilizar para obtener la función de onda en cualquier momento a través de una integral sobre la función de onda en t = 0:

$\psi (\mathbf {R} ,t)=\int \psi \left(\mathbf {R} ^{0},t=0\right)G\left(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{0},t\right)dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0},$

con

$G(\mathbf {R} ,t)=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {\mathbf {R} ^{2}m}{2i\hbar t}}}.$

Observación: esta analogía entre la mecánica cuántica y la difusión es puramente formal. Físicamente, la evolución de la función de onda que satisface la ecuación de Schrödinger podría tener un origen distinto a la difusión.Difusividad térmica en polímerosUna aplicación práctica directa de la ecuación del calor, junto con la teoría de Fourier , en coordenadas esféricas, es la predicción de perfiles de transferencia térmica y la medición de la difusividad térmica en polímeros (Unsworth y Duarte ). Este método dual teórico-experimental es aplicable al caucho, varios otros materiales poliméricos de interés práctico y microfluidos. Estos autores derivaron una expresión para la temperatura en el centro de una esfera $T C$

${\frac {T_{C}-T_{S}}{T_{0}-T_{S}}}=2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\exp \left({-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}}\right)$

donde $T 0$ es la temperatura inicial de la esfera y $T S$ la temperatura en la superficie de la esfera, de radio $L$ . Esta ecuación también ha encontrado aplicaciones en la transferencia de energía proteica y el modelado térmico en biofísica.

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Otras aplicaciones

La ecuación de calor surge en el modelado de una serie de fenómenos y se utiliza a menudo en matemáticas financieras en el modelado de opciones . La ecuación diferencial del modelo de fijación de precios de opciones de Black-Scholes se puede transformar en la ecuación de calor permitiendo soluciones relativamente fáciles de un cuerpo matemático familiar. Muchas de las extensiones de los modelos de opción simple no tienen soluciones de forma cerrada y, por lo tanto, deben resolverse numéricamente para obtener un precio de opción modelado. La ecuación que describe la difusión de la presión en un medio poroso es idéntica en forma a la ecuación del calor. Los problemas de difusión relacionados con las condiciones de frontera de Dirichlet , Neumann y Robin tienen soluciones analíticas de forma cerrada ( Thambynayagam 2011 ). La ecuación de calor también se usa ampliamente en el análisis de imágenes ( Perona y Malik 1990 ) y en el aprendizaje automático como la teoría impulsora detrás de los métodos laplacianos de escala-espacio o gráfico . La ecuación de calor se puede resolver numéricamente de manera eficiente utilizando el método implícito de Crank-Nicolson de ( Crank & Nicolson 1947 ). Este método se puede extender a muchos de los modelos sin una solución de forma cerrada, ver por ejemplo ( Wilmott, Howison & Dewynne 1995 ).Una forma abstracta de ecuación de calor en variedades proporciona un enfoque importante del teorema del índice de Atiyah-Singer y ha llevado a muchos más trabajos sobre ecuaciones de calor en la geometría de Riemann .

Problemas de frontera: el problema de Sturm-Liouville.

En matemáticas , la teoría de Sturm-Liouville estudia el caso especial de ecuaciones diferenciales lineales escalares de segundo orden de la forma

${\ Displaystyle {d \ over dx} \ left [p (x) {dy \ over dx} \ right] + q (x) y = \ lambda w (x) y, \ qquad (1)}$

en el que el parámetro $λ$ es parte como la función y de las incógnitas. La función w ( x ) a menudo se denomina función de “peso” o “densidad”. Esta ecuación a menudo se coloca en un segmento [ a , b ] y acompañado por las condiciones de contorno entre los valores , , y . Las soluciones $λ$ y $y$ del problema aparecen entonces como autovalor y autovector del operador autoasistente : ${\ Displaystyle y (a)}$ ${\ Displaystyle y '(a)}$ ${\ Displaystyle y (b)}$ ${\ Displaystyle y '(b)}$

${\ Displaystyle L = - {\ frac {1} {w (x)}} \ left ({\ frac {d} {dx}} \ left [p (x) {\ frac {d} {dx}} \ derecha] + q (x) \ derecha)}$

en un espacio de Hilbert L ² ([ a , b ], w ( x ) d x ) funciones cuadradas sumables sobre el intervalo [ a , b ], dotadas de la medida w ( x ) d x y el producto escalar definido por:

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} {f (x) g (x) \, w (x) \, \ mathrm {d} x}}$ .

El principal resultado de la teoría es la existencia de una base de Hilbert de vectores propios asociados con valores propios que forman una secuencia estrictamente creciente.Esta teoría lleva el nombre de los matemáticos Charles Sturm (1803-1855) y Joseph Liouville (1809-1882), quienes trabajaron conjuntamente en su formateo.

Propiedades generales.

En general una ecuación diferencial lineal de orden dos , escalar, homogénea, de forma general:

${\ Displaystyle A (x) y '' + B (x) y '+ C (x) y = 0 \,}$ ,

se puede poner en la forma conocida como de Sturm-Liouville, con una función p con valores estrictamente positivos, es decir:

${\ Displaystyle {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} x} \ left [p (x) {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} x} y (x) \ right] + \ left (q (x) - \ lambda w (x) \ right) y (x) = 0}$ ,

siendo $λ$ en general una variable real (o más generalmente compleja) que puede tomar varios valores, y w ( x ) una función regular con valores positivos denominada “función de ponderación”. Todas las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden dos no necesariamente se ponen de manera obvia en la forma de Sturm-Liouville, en general es necesario que utilicen un factor integrador . En este caso, después de la división por A ( x ), la ecuación anterior se pone en la forma:

${\ Displaystyle y '' (x) + {\ frac {B} {A}} (x) y '(x) + {\ frac {C (x)} {A (x)}} y (x) = 0}$ ,

se trata entonces de encontrar una función que permita ponerla en forma de Sturm-Liouville. Pero después de la multiplicación tenemos: $p (x)$

${\ Displaystyle p (x) y '' + p (x) {\ frac {B} {A}} (x) y '+ p (x) {\ frac {C (x)} {A (x)} } y = 0}$ ,

lo que implica por identificación que p ( x ) debe ser tal que , en consecuencia, basta con tomar formalmente: ${\ Displaystyle p '(x) = p (x) {\ frac {B (x)} {A (x)}}}$

${\ Displaystyle p (x) = \ exp \ left (\ int {\ frac {B (x)} {A (x)}} \, \ mathrm {d} x \ right),}$

para obtener el resultado deseado (la función p es por construcción con valores positivos). El término de orden 0 se pone entonces en la forma , que siempre es posible escribir, sin pérdida de generalidad, en la forma . ${\ Displaystyle p (x) {\ frac {C (x)} {A (x)}}}$ ${\ Displaystyle (q (x) - \ lambda w (x))}$

Nota: también puede suceder que la función “peso” w ( x ) aparezca cuando se busca transformar el factor frente a la derivada en segundo lugar para que la ecuación se pueda poner en la forma de Sturm-Liouville directamente, o nuevamente para que el factor de integración puede evaluarse analíticamente de forma eficaz.

Esta técnica no se puede generalizar a ecuaciones vectoriales. Sin embargo, se puede utilizar para ecuaciones diferenciales parciales , reduciendo a ecuaciones diferenciales ordinarias por el método de separación de variables. En el artículo original de Liouville sobre la cuestión, la ecuación del calor se dio como ejemplo introductorio.

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La ecuación del calor de Laplace.

En matemáticas, si se le da un subconjunto abierto U de ℝ ny un subintervalo I de ℝ , se dice que una función u : U × I → ℝ es una solución de la ecuación de calor si

Definir una nueva función . Entonces, de acuerdo con la regla de la cadena , uno tiene

Interpretación física de la ecuación

Interpretación matemática de la ecuación

La primera mitad del pensamiento físico anterior se puede poner en forma matemática. La clave es que, para cualquier x fija , uno tiene

donde u ( x ) ( r ) es la función de una sola variable que denota el valor promedio de u sobre la superficie de la esfera de radio r centrada en x ; puede ser definido por

Carácter de las soluciones

Ejemplos específicos

Flujo de calor en una varilla uniforme

Para el flujo de calor, la ecuación del calor se deriva de las leyes físicas de conducción de calor y conservación de energía ( Cannon 1984 ).

Según la ley de Fourier para un medio isotrópico, la tasa de flujo de energía térmica por unidad de área a través de una superficie es proporcional al gradiente de temperatura negativo a través de ella:

dónde es la conductividad térmica del material, es la temperatura, y es un campo vectorial que representa la magnitud y la dirección del flujo de calor en el punto de espacio y tiempo .

Si el medio es una varilla delgada de sección y material uniformes, la posición es una sola coordenada , el flujo de calor hacia el aumento es un campo escalar , y el gradiente es una derivada ordinaria con respecto a la . La ecuación se convierte en

dónde es la capacidad calorífica específica (a presión constante, en el caso de un gas) y es la densidad (masa por unidad de volumen) del material. Esta derivación supone que el material tiene una densidad de masa y una capacidad calorífica constantes a través del espacio y del tiempo.

Aplicando la ley de conservación de la energía a un pequeño elemento del medio centrado en , se concluye que la velocidad a la que se acumula el calor en un punto dado es igual a la derivada del flujo de calor en ese punto, negado. Es decir,

De las ecuaciones anteriores se deduce que

que es la ecuación de calor en una dimensión, con coeficiente de difusividad

Esta cantidad se denomina difusividad térmica del medio.

Contabilización de la pérdida radiativa

y la ecuación para la evolución de se convierte en

Medio isotrópico no uniforme

dónde es la fuente de calor volumétrica.

Problema tridimensional

En los casos especiales de propagación de calor en un medio isótropo y homogéneo en un espacio tridimensional , esta ecuación es

dónde:

es la temperatura en función del espacio y el tiempo;

es la tasa de cambio de temperatura en un punto a lo largo del tiempo;

, , y son las segundas derivadas espaciales ( conducciones térmicas ) de la temperatura en el, , y direcciones, respectivamente;

es la difusividad térmica , una cantidad específica del material que depende de la conductividad térmica , la capacidad calorífica específica y la densidad de masa .

La ecuación de calor es una consecuencia de la ley de conducción de Fourier (ver conducción de calor ).

La ecuación de calor es el ejemplo prototípico de una ecuación diferencial parcial parabólica .

Usando el operador de Laplace , la ecuación de calor se puede simplificar y generalizar a ecuaciones similares en espacios de un número arbitrario de dimensiones, como

donde el operador de Laplace, Δ o ∇ 2 , la divergencia del gradiente, se toma en las variables espaciales.

Generación de calor interno

Por ejemplo, un filamento de bombilla de tungsteno genera calor, por lo que tendría un valor positivo distinto de cero para q cuando se enciende. Mientras la luz está apagada, el valor de q para el filamento de tungsteno sería cero.

Resolver la ecuación de calor usando la serie de Fourier

donde u = u ( x , t ) es una función de dos variables x y t . Aquí

Asumimos la condición inicial

donde se da la función f , y las condiciones de contorno

Intentemos encontrar una solución de ( 1 ) que no sea idénticamente cero que satisfaga las condiciones de contorno ( 3 ) pero con la siguiente propiedad: u es un producto en el que la dependencia de u en x , t está separada, es decir:

Esta técnica de solución se llama separación de variables . Sustituyendo u de nuevo en la ecuación ( 1 ),

Dado que el lado derecho depende solo de x y el lado izquierdo solo de t , ambos lados son iguales a algún valor constante −λ. Por lo tanto:

y

Ahora mostraremos que no pueden ocurrir soluciones no triviales para ( 6 ) para valores de λ ≤ 0:

dónde

para n ≥ 1 son funciones propias de Δ. En efecto,

Finalmente, la secuencia { e n } n ∈ N abarca un subespacio lineal denso de L 2 ((0, L )). Esto muestra que, en efecto, hemos diagonalizado al operador Δ.

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Conducción de calor en medios anisotrópicos no homogéneos

En general, el estudio de la conducción de calor se basa en varios principios. El flujo de calor es una forma de flujo de energía y, como tal, es significativo hablar de la tasa de flujo de calor en el tiempo en una región del espacio.

Al juntar estas ecuaciones se obtiene la ecuación general del flujo de calor:

Observaciones .

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Soluciones fundamentales

donde δ es la función delta de Dirac . La solución a este problema es la solución fundamental ( núcleo de calor )

Se puede obtener la solución general de la ecuación de calor de una variable con la condición inicial u ( x , 0) = g ( x ) para −∞ < x <∞ y 0 < t <∞ aplicando una convolución :

En varias variables espaciales, la solución fundamental resuelve el problema análogo

La solución fundamental de n -variable es el producto de las soluciones fundamentales en cada variable; es decir,

La solución general de la ecuación de calor en R n se obtiene mediante una convolución, de modo que para resolver el problema del valor inicial con u ( x , 0) = g ( x ), se tiene

El problema general en un dominio Ω en R n es

Algunas soluciones de función de Green en 1D

donde f es una función dada de x y t .Ecuación de calor homogénea

Comentar . Esta solución es la convolución con respecto a la variable x de la solución fundamental

y la función g ( x ). (El número de función de Green de la solución fundamental es X00).Por lo tanto, de acuerdo con las propiedades generales de la convolución con respecto a la diferenciación, u = g ∗ Φ es una solución de la misma ecuación de calor, para

Es más,

Comentar . Esta solución es la convolución con respecto a la variable t de

y la función h ( t ). Dado que Φ ( x , t ) es la solución fundamental de

la función ψ ( x, t ) también es una solución de la misma ecuación de calor, y también lo es u : = ψ ∗ h , gracias a las propiedades generales de la convolución con respecto a la diferenciación. Es más,

Ecuación de calor no homogénea

Comentar . Esta solución es la convolución en R 2 , es decir con respecto a las variables x y t , de la solución fundamental

y la función f ( x, t ), ambas significadas como se define en el conjunto R 2 e idénticamente 0 para todo t → 0. Uno verifica que

que expresado en el lenguaje de las distribuciones se convierte en

donde la distribución δ es la función delta de Dirac , que es la evaluación en 0.

sea u = w + v donde w y v resuelven los problemas

Del mismo modo, para resolver

vamos u = w + v + r , donde w , v , y r resolver los problemas

Propiedad de valor medio para la ecuación de calor

En matemáticas, si se le da un subconjunto abierto $U$ de $ℝ ny$ un subintervalo $I$ de $ℝ$ , se dice que una función $u : U \times I \to ℝ$ es una solución de la ecuación de calor si

Definir una nueva función $v(t,x)=u(t/\alpha ,x)$ . Entonces, de acuerdo con la regla de la cadena , uno tiene

La primera mitad del pensamiento físico anterior se puede poner en forma matemática. La clave es que, para cualquier $x$ fija , uno tiene

donde $u (x) (r)$ es la función de una sola variable que denota el valor promedio de $u$ sobre la superficie de la esfera de radio $r$ centrada en $x$ ; puede ser definido por

dónde $k$ es la conductividad térmica del material, $u=u(\mathbf {x} ,t)$ es la temperatura, y $\mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)$ es un campo vectorial que representa la magnitud y la dirección del flujo de calor en el punto $\mathbf {x}$ de espacio y tiempo $t$ .

Si el medio es una varilla delgada de sección y material uniformes, la posición es una sola coordenada $x$ , el flujo de calor hacia el aumento $x$ es un campo escalar $q=q(t,x)$ , y el gradiente es una derivada ordinaria con respecto a la $x$ . La ecuación se convierte en

Aplicando la ley de conservación de la energía a un pequeño elemento del medio centrado en $x$ , se concluye que la velocidad a la que se acumula el calor en un punto dado $x$ es igual a la derivada del flujo de calor en ese punto, negado. Es decir,

y la ecuación para la evolución de $u$ se convierte en

dónde ${\dot {q}}_{V}$ es la fuente de calor volumétrica.

$u=u(x,y,z,t)$ es la temperatura en función del espacio y el tiempo;

${\tfrac {\partial u}{\partial t}}$ es la tasa de cambio de temperatura en un punto a lo largo del tiempo;

$u_{xx}$ , $u_{yy}$ , y $u_{zz}$ son las segundas derivadas espaciales ( conducciones térmicas ) de la temperatura en el $x$ , $y$ , y $z$ direcciones, respectivamente;

$\alpha \equiv {\tfrac {k}{c_{p}\rho }}$ es la difusividad térmica , una cantidad específica del material que depende de la conductividad térmica $k$ , la capacidad calorífica específica $c_p$ y la densidad de masa $\rho$ .

donde el operador de Laplace, Δ o ∇ ² , la divergencia del gradiente, se toma en las variables espaciales.

Finalmente, la secuencia { e _n } _{n ∈ N} abarca un subespacio lineal denso de L ² ((0, L )). Esto muestra que, en efecto, hemos diagonalizado al operador Δ.

La solución general de la ecuación de calor en R ⁿ se obtiene mediante una convolución, de modo que para resolver el problema del valor inicial con u ( x , 0) = g ( x ), se tiene

El problema general en un dominio Ω en R ⁿ es

Comentar . Esta solución es la convolución en R ² , es decir con respecto a las variables x y t , de la solución fundamental

y la función f ( x, t ), ambas significadas como se define en el conjunto R ² e idénticamente 0 para todo t → 0. Uno verifica que

donde E _λ es una “bola de calor”, que es un conjunto de superniveles de la solución fundamental de la ecuación de calor: