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Ecuaciones de primer orden – Curso de Ecuaciones diferenciales.

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Teorema de existencia y unicidad.

El teorema de existencia y unicidad establece las condiciones necesarias y suficientes para que una ecuación diferencial de primer orden, con condición inicial dada, tenga una solución y que además dicha solución sea la única. Ecuaciones de primer orden – Curso de Ecuaciones diferenciales.

Sin embargo el teorema no da ninguna técnica ni indicación de cómo hallar tal solución. El teorema de existencia y unicidad se extiende también a ecuaciones diferenciales de orden superior con condiciones iniciales, lo que se conoce como problema de Cauchy.

Figura 1. Se muestra una ecuación diferencial con condición inicial y su solución. El Teorema de Existencia y Unicidad garantiza que es la única solución posible.

El enunciado formal del teorema de existencia y unicidad es el siguiente:

“Para una ecuación diferencial y’(x) = f(x,y) con condición inicial y(a) = b, existe al menos una solución en una región rectangular del plano XY que contiene al punto (a,b), si f(x,y) es continua en dicha región. Y si la derivada parcial de f respecto de y: g = ∂f/ ∂y es continua en esa misma región rectangular, entonces la solución es única en un entorno del del punto (a,b) contenido en la región de continuidad de f y g.”

La utilidad de este teorema radica primero en conocer cuáles son las regiones del plano XY en las que puede existir una solución y además, saber si la solución encontrada es la única posible o si existen otras.

Nótese que en caso de que no se cumpla la condición de unicidad, el teorema no puede predecir cuántas soluciones en total tiene el problema de Cauchy: tal vez sea una, dos, o más.

Demostración del teorema de existencia y unicidad

Figura 2. A Charles Émile Picard (1856-1941) se acredita una de las primeras demostraciones del Teorema de Existencia y Unicidad.

Para este teorema se conocen dos demostraciones posibles, una de ellas es la demostración de Charles Émile Picard (1856-1941) y la otra se debe a Giuseppe Peano (1858-1932) basado en los trabajos de Augustin Louis Cauchy (1789-1857).

Es de notar que en la demostración de este teorema participaron las mentes matemáticas más brillantes del siglo XIX, por lo que se puede intuir que ninguna de las dos es sencilla.

Para demostrar formalmente el teorema se requiere establecer primero una serie de conceptos de matemáticas más avanzadas, como funciones tipo Lipschitz, espacios de Banach, teorema de existencia de Carathéodory y varios más, que escapan del propósito del artículo.

Una gran parte de las ecuaciones diferenciales que se manejan en física tratan con funciones continuas en las regiones de interés, por lo tanto nos limitaremos a mostrar la forma en que se aplica el teorema en ecuaciones sencillas.

Ejemplo.

Consideremos la siguiente ecuación diferencial con una condición inicial:

y’(x) = – y; con y(1) =3

¿Existe una solución para este problema? ¿Es la única solución posible?

Respuesta.

En primer lugar se evalúa la existencia de la solución de la ecuación diferencial y que además que cumpla la condición inicial.

En este ejemplo f(x,y) = – y la condición de existencia requiere saber si f(x,y) es continua en una región del plano XY que contenga al punto de coordenadas x=1, y=3.

Pero f(x,y)=-y es la función afín, que es continua en el dominio de los números reales y existe en todo el rango de los números reales.

Por lo tanto se concluye que f(x,y) es continua en R², por lo que el teorema garantiza la existencia de al menos una solución.

Sabiendo esto, toca evaluar si la solución es única o si por el contrario hay más de una. Para esto es necesario calcular la derivada parcial de f respecto de la variable y:

∂f/∂y = ∂(-y)/∂y = -1

Entonces g(x,y) = -1 que es una función constante, que también está definida para todo R² y además es continua allí. Se sigue que el teorema de existencia y unicidad garantiza que este problema de valor inicial sí tiene una solución única, aunque no nos dice cuál es.

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Ecuación Diferencial Lineal.

Definición: Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a la que es lineal con respecto a la función (incógnita y) y su derivada.

y’+f(x) y=g(x)

Donde f(x) y g(x) son funciones continuas en un cierto dominio D

En el caso que g(x)=0, se dice que la ecuación lineal es homogénea. Esta ya es de variables separadas.

$\frac{d y}{y} = - f (x) d x$

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Ecuación diferencial lineal ejemplo.

Una ecuación diferencial lineal de primer orden escrita en la forma estándar o canónica es:

Si en (1) g(x) = 0 se dice entonces que la ecuación es homogénea; en caso contrario es no homogénea.

Casi siempre es posible resolver analíticamente una ecuación diferencial lineal. Existen varios métodos analíticos ideados para resolver una ecuación lineal de primer orden. El primero de ellos, que se denomina método del factor integrante, utiliza el siguiente factor de integración:

Como se puede observar el factor de integración depende de la función coeficiente de y en (1), esto es, depende de p(x).

Los otros dos métodos que vamos a estudiar aquí se llaman, respectivamente, variación de la constante de Lagrange y algoritmo de los coeficeintes indeterminados.

Una alternativa, al buscar la solución de la ecuación diferencial lineal de primer orden, es tomar g(x)=0, obteniéndose de esta forma la ED homogénea asociada a la (1).

Factor integrante

Factor integrante:

Es posible deducir un factor de integación adecuado, u(x), que facilite el hallazgo de la solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden. Veamos:

Procedimiento

Procedimiento:

Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden se procede como sigue:

1. Se lleva la ecuación dada a la forma:

2. Se identifica el coeficiente de y, esto es, la función p(x) y se determina el factor integrante dado por:

3. Se multiplica la ecuación obtenida en el paso 1 por el factor de integración calculado en el paso 2:

4. Se observa que el miembro izquerdo de la ecuación tiene la forma expandida de la derivada de un producto; se escribe esta derivada en la forma no expandida:

5. Se integran ambos miembros de la ecuación obtenida en el paso 4:

6. Se despeja la función y:

Ejemplo ilustrativo 1

Ejemplo ilustrativo 1:

Resuelva la siguiente ecuación:

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Ecuaciones Diferenciales separables.

Las ecuaciones separables es una ecuación donde dy / dx = f (x, y) se denomina operaciones algebraicas separables siempre que, por lo general, multiplicación, división y factorización, permitan que se escriba en una forma separable dy / dx = F (x) G ( y) para algunas funciones F y G. Las ecuaciones separables y los métodos de solución asociados fueron descubiertos por G. Leibniz en 1691 y formalizados por J. Bernoulli en 1694 .

La ecuación diferenciable separable es uno de los métodos para resolver la ecuación diferencial de primer orden y primer grado . En este método, la separación de variables se usa para encontrar la solución general de la ecuación diferencial. Y la ecuación de primer orden, ecuación diferencial de primer grado se puede escribir en esta forma:

$\ frac {dy} {dx} = H (x, y)$

Podemos expresar H (x, y) como producto de f (x) g (y ) . Entonces, la ecuación de la ecuación diferencial separable es-

$\ frac {dy} {dx} = f (x) .g (y)$

Abordar el tratamiento diferencial de forma algebraica simplemente separando x y y e integrando respectivamente

Identificar ecuaciones separables

Para resolver ecuaciones diferenciales usando el método diferencial separable tenemos que separar la variable. De manera más concisa, una ecuación diferencial de primer orden es separable si y solo si se puede escribir como

$\ frac {dy} {dx} = f (x) .g (y)$

Si esta factorización no es posible, la ecuación no es separable.

dónde,

f (x) es una función de x que no contiene y.

g (y) es una función de y que no contiene x.

Si la factorización es posible, la llevaremos a esta forma para encontrar la solución general de la ecuación diferencial:

g (y) dy = f (x) dx

Nota: Para resolver este tipo de ecuación diferencial tenemos que separar todas las y en un lado y las x en el otro lado del signo igual.

Pero este método no es aplicable a todas las ecuaciones.

Ejemplos de muestra

Ejemplo 1: ¿Encuentra que la ecuación diferencial $\ frac {dy} {dx} = \ frac {f (x)} {g (y)}$ es variable separable o no?

Solución:

Como puede ver, la siguiente ecuación diferencial se puede expresar en la forma requerida, por lo que se puede resolver utilizando la separación de variables.

f (x) dx = g (y) dy

Ejemplo 2: ¿Encuentra que la ecuación diferencial dy / dx = f (x) .g (y) es variable separable o no?

Solución:

Como puede ver, la siguiente ecuación diferencial se puede expresar en la forma requerida, por lo que se puede resolver utilizando la separación de variables.

dy / g (y) = f (x) dx

Ejemplo 3: ¿Encuentra que la ecuación diferencial dy / dx = f (x) + g (y) es variable separable o no?

Solución:

Como puede ver, la siguiente ecuación diferencial no se puede expresar en la forma requerida, por lo que no se puede resolver utilizando la separación de variables.

dy / dx = f (x) + g (y)

Encontrar una solución específica para una ecuación separable

Entonces, como hemos visto cómo “ identificar la ecuación separable” , podemos resolverla fácilmente para encontrar la solución general de la ecuación diferencial.

Siguiendo los siguientes pasos:

Intente factorizar x y y en la ecuación diferencial dada.
Trae las x del lado de la igualdad y las y del otro lado.
Ahora integre ambos lados con respectivamente ax e y. No olvide “+ C” (la constante de integración).

Problemas de muestra

Ejemplo 1: Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dy / dx = (x + 1) / (2-y), (y ≠ 2).

Solución:

Pasos 1- Como puede ver, la siguiente ecuación diferencial se puede expresar en la forma requerida, por lo que se puede resolver utilizando la separación de variables.

dy / dx = (x + 1) / (2-y)

Paso 2- Traiga las x del lado de la igualdad y las y del otro lado.

(2-y) dy = (x + 1) dx

Paso 3- Integrar ambos lados respectivamente ax e y, C es la constante de integración.

∫ (2-y) dy = ∫ (x + 1) dx

∫2 dy- ∫y dy = ∫x dx + ∫1 dx

2y – (Y ² /2) = (x ² /2) + x + C

2y – (Y ² /2) – (x ² /2) – x – C = 0

La solución general de la ecuación diferencial es-

2y – (Y ² /2) – (x ² /2) – x – C = 0

Ejemplo 2: Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dy / dx = (1 + y ² ) / (1 + x ² ).

Solución:

Dado que 1 + y ² ≠ 0, por lo tanto, separando las variables, en el diferencial dado.

Paso 1- Como puede ver, la siguiente ecuación diferencial se puede expresar en la forma requerida, por lo que se puede resolver utilizando la separación de variables.

dy / dx = (1 + y ² ) / (1 + x ² )

Paso 2- Traiga las x del lado de la igualdad y las y del otro lado.

dy / (1 + y ² ) = dx / (1 + x ² )

Paso 3- Integrar ambos lados respectivamente ax e y, C es la constante de integración.

∫dy / (1 + y ² ) = ∫dx / (1 + x ² )

Tan ^-1 y = Tan ^-1 x + C

Tan ^-1 x – Tan ^-1 y + C = 0

La solución general de la ecuación diferencial es-

Tan ^-1 x – Tan ^-1 y + C = 0

Ecuaciones Diferenciales homogéneas.

Definición:

Una ecuación diferencial de primer orden que se puede llevar a escribir de la forma:

se denomina ED de primer orden homogénea.

Procedimiento

Procedimiento:

Para resolver una ecuación diferencial homogénea se procede a efectuar las siguientes sustituciones:

Ejemplo ilustrativo:

Ecuación de Bernoulli – Ecuaciones diferenciales.

La ecuación diferencial de Bernouilli es una Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución y^1-n = v, que se caracteriza por adoptar la forma:

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^\alpha$

donde $\!P(x)$ y $\!Q(x)$ son funciones continuas en un intervalo abierto $(a,b) \subseteq \mathbb{R}$ y α es un número real cualquiera

MÉTODO DE SOLUCIÓN

Caso general

Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por y^α se obtiene:

$\frac{y'}{y^\alpha}+\frac{P(x)}{y^{(\alpha-1)}}=Q(x)$

Definiendo:

$Z(x):=\frac{1}{y^{(\alpha-1)}}$

o,equivalentemente, Z = y^1-α

lleva inmediatamente a las igualdades:

$Z'(x)= -\frac{\alpha-1}{y^\alpha}y' \qquad \Rightarrow \frac{y'(x)}{y^\alpha}=-\frac{1}{\alpha-1}Z'(x)$

Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:

$\!Z'(x)+ (1-\alpha)\!P(x)\!Z(x)=(1-\alpha)\!Q(x)$

Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial linea obteniendo como resultado:

$Z(x) = {\frac { \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}{{e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}}}$

Donde $C \in \mathbb{R}$ es una constante arbitraria. Pero como Z = y^1-α se tiene que:

${y^{(\alpha-1)}}={\frac {{e^{\left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}}{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}} \qquad \Rightarrow y(x)={\sqrt [\alpha-1]{\frac {{e^{-(\alpha-1)\int \!P \left( x \right) {dx}}}}{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}}}$

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:

$y(x)={\frac {{e^{-\int \!P \left( x \right) {dx}}}}{\sqrt [\alpha-1]{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right) {e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}{dx}+C}}}$

Con $C \in \mathbb{R}$ . Donde el factor integrante se define en, por ejemplo, 0 < x < ∞

Caso particular: α = 0

En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:

$\!y(x) = e^{-\int \!P(x)dx}\left({\int{ \!Q(x)e^{\int \!P(x)dx}dx}+\!C}\right)$

Caso particular: α = 1

Tenemos una ecuación diferencial lineal (Ecuación de variables separables). En este caso la solución viene dada por:

$\ln\ \!y(x) = \int [Q(x)-P(x)]dx + C$

EJEMPLO:

Para resolver la ecuación:

$\qquad xy'+y=x^4y^3$

Se hace el cambio de variable $z=y^{-2}\;$ , que introducido en (*) da simplemente:

$y^2=\frac{1}{z} \Rightarrow 2yy'=-\frac{1}{z^2}z'$

Multiplicando la ecuación anterior por el factor: $\frac{2y}{x};$ se llega a:

$\qquad 2yy'+\frac{2}{x}y^2=2x^3y^4$

Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:

$-\frac{z'}{z^2} +\frac{2}{x} \frac{1}{z}= \frac{2x^3}{z^2} \quad \Rightarrow \quad z'-\frac{2z}{x}=-2x^3$

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:

$e^{\int P(x)dx} = e^{\int -\frac{2}{x}dx} = e^{-2ln(x)} = \frac{1}{x^2}$

Y se resuelve ahora la ecuación:

$\left(\frac{z}{x^2}\right)' = -2x^3 \frac{1}{x^2} = -2x \qquad \frac{z}{x^2} = \int{-2x dx} = -2\int{x dx} = -2\frac{x^2}{2} + C_1= -x^2 + C_1$

Deshaciendo ahora el cambio de variable:

$\frac{z}{x^2} = -x^2 + C_1 \quad \Rightarrow \quad z=C_1x^2 -x^4$

Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue $z=y^{-2}\;$ :

$\frac{1}{y(x)^2}=C_1x^2-x^4 \quad \Rightarrow \quad y(x) = \frac{\pm 1}{\sqrt{C_1x^2-x^4}}$

Teoría cualitativa de Ecuaciones Diferenciales.

Teoría Cualitativa I: Introducción y teoría local. Campos vectoriales y flujos, retrato de fase, equivalencia y conjugación de campos vectoriales.

Teorema de Hartman-Grobman, estabilidad local de puntos de equilibrio hiperbólicos. Estabilidad local de soluciones periódicas, aplicación de retorno de Poincaré, ciclos límite en el plano.

Teoría Cualitativa II: Propiedades globales. Conjuntos α-límite y ω-límite de órbitas. Teorema de Poincaré-Bendixson.

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