• jue. May 23rd, 2024

DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS











PREGUNTAS FRECUENTES SOBRE DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

 

¿Cuál es el dominio y rango de la función coseno?

 

¿Cómo se hallar el rango de una función trigonométrica?

 

Dominio y Rango de las Funciones Trigonométricas | MATEMÁTICAS

Debido a que cualquier ángulo puede ser considerado en el círculo unitario, simplemente dando un mayor número de vueltas en el sentido contrario a las manecillas del reloj si el ángulo tiene medida mayor a 2π2π, o dando vueltas en el sentido de las manecillas del reloj si el ángulo es negativo, y en todos ellos el valor de seno y coseno está bien definido, se tiene que el dominio de las funciones sen(x)sen(x) y cos(x)cos(x) comprende todos los números reales.

Por otro lado, al hacer la gráfica de la función tan(x)tan(x) se suprimieron algunos valores de xx pues en ellos la función no está definida. La razón es que, como tan(x)=sen(x)cos(x)tan(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}, aquellos valores xx para los cuales cos(x)=0cos(x)=0 no se encuentran en el dominio de la función tan(x)tan(x). Estos valores pertenecen al conjunto infinito:

A={…,−5π2,−3π2,−π2,π2,3π2,5π2,…}A=\Big\{…,-\frac{5π}{2},-\frac{3π}{2},-\frac{π}{2},\frac{π}{2},\frac{3π}{2},\frac{5π}{2},…\Big\}

Así, el dominio de tan(x)tan(x) son todos los números reales excepto aquellos que pertenecen al conjunto AA.

Ya que la función sec(x)sec(x) es igual a 1cos(x)\frac{1}{cos(x)}, tampoco se encuentra definida en aquellos valores de xx en los que cos(x)=0cos(x)=0, es decir el dominio de sec(x)sec(x) también comprende a todos los números reales con excepción de aquéllos que se encuentran en el conjunto AA.

De la misma manera, como las funciones cot(x)cot(x) y csc(x)csc(x) se definen como cos(x)sen(x)\frac{cos(x)}{sen(x)} y 1sen(x)\frac{1}{sen(x)}, el dominio de ambas comprende a todos los números reales con excepción de aquellos para los cuales sen(x)=0sen(x)=0, es decir, excepto aquéllos que se encuentran en el conjunto:

B={…,−2π,−π,0,π,2π,…}B=\{…,-2π, -π, 0, π, 2π,…\}

En el siguiente recuadro interactivo, observa el dominio de cada una de las seis funciones trigonométricas directas. Los puntos blancos son puntos que no se encuentran en el dominio de la función. Nota además que en estos puntos aparecen asíntotas verticales.

Dominio y Rango de las Funciones Trigonométricas | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS

 

En el rango de la función sen(x)sen(x) es fácil de determinar pues como sen(x)sen(x) es la ordenada de un punto en el círculo unitario, su valor máximo es 11 y su valor mínimo es −1-1, además de que sen(x)sen(x) toma todos los valores intermedios. De esta manera, el rango de la función sen(x)sen(x) es el intervalo [−1,1][-1,1].

De la misma forma, el rango de la función coseno es el intervalo [−1,1][-1,1] pues cos(x)cos(x) es la abscisa de un punto en el círculo unitario.

Ya que desde cualquier punto (1,u)(1,u) sobre la recta tangente en (1,0)(1,0) al círculo unitario se puede trazar una recta que pase por el origen, formando un ángulo xx con la parte positiva del eje XX, se tiene que cualquier número uu es la tangente de algún ángulo xx, es decir el rango de tan(x)tan(x) es el conjunto de todos los números reales.

Ejemplo grafico

Dominio y Rango de las Funciones Trigonométricas | CURSO ONLINE DE MATEMÁTICAS

 

Como el rango de tan(x)tan(x) es el conjunto de números reales y cot(x)=1tan(x)cot(x)=\frac{1}{tan(x)}, entonces el rango de la función cot(x)cot(x) también comprende a todos los números reales excepto, posiblemente el 00 (el 00 no es el recíproco de ningún número). Sin embargo cot(π2)=0cot(\frac{π}{2})=0, de donde el rango de cot(x)cot(x) es el conjunto de todos los números reales.

Para obtener el rango de csc(x)csc(x)

Observa que, si sen(x)sen(x) es positivo, entonces, ya que sen(x)≤1sen(x)≤1, se tiene que 1≤1sen(x)=csc(x)1≤\frac{1}{sen(x)}=csc(x), en cambio, si sen(x)sen(x) es negativo, como −1≤sen(x)-1≤sen(x) se tiene que csc(x)=−1−sen(x)≤−1csc(x)=\frac{-1}{-sen(x)}≤-1. De estas dos desigualdades se obtiene que el rango de csc(x)csc(x) es el conjunto (−∞,−1]U[1,∞)(-∞,-1]U[1,∞). El caso de secante es completamente análogo.

Presiona el botón y regresa al primer recuadro interactivo para observar el rango (conjunto que se muestra en azul sobre el eje Y) de cada una de las funciones trigonométricas.




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1 year ago

[…] 7.2.2.1 Dominio y rango […]