- DOMINIO CONTRADOMINIO Y REGLA DE CORRESPONDENCIA
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- PREGUNTAS FRECUENTES SORE DOMINIO CONTRADOMINIO Y REGLA DE CORRESPONDENCIA
- ¿Qué es la regla de la correspondencia?
- ¿Qué es el dominio y el contradominio de un conjunto?
- ¿Cómo hallar el dominio de una regla de correspondencia?
- ¿Qué es dominio y contradominio ejemplos?
- FUNCIONES ALGEBRAICAS :
- RELACIONES:
- DOMINIO:
- CONTRADOMINIO:
- IMAGEN:
- REGLA DE CORRESPONDENCIA:
- Ejemplo 1
- Ejemplo 2
- Ejemplo 3
- Veamos:
- Ejemplo 4
- Dominio y rango de una función
- En resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente:
- Ejemplo.
- Veamos:
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DOMINIO CONTRADOMINIO Y REGLA DE CORRESPONDENCIA
DOMINIO CONTRADOMINIO Y REGLA DE CORRESPONDENCIA
PREGUNTAS FRECUENTES SORE DOMINIO CONTRADOMINIO Y REGLA DE CORRESPONDENCIA
FUNCIONES ALGEBRAICAS :
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango).
RELACIONES:
De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.
Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano
DOMINIO:
Conjunto de todos los valores que toma la variable independiente, la x. Leemos de izquierda a derecha en el eje x y vemos para que valores hay función.
CONTRADOMINIO:
El conjunto de todos los valores resultantes de la variable dependiente “y”. Otros nombres para éste son: recorrido ámbito ; imagen (muy utilizado en álgebra y teoría de conjuntos); y rango (muy empleado en cálculo).
IMAGEN:
Se llaman imágenes a los elementos del conjunto de llegada o codominio que están asociados a una preimagen, mediante el criterio de la función.
REGLA DE CORRESPONDENCIA:
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos A y B no vacíos, en la cual para todo elemento que pertenece al conjunto A existe un solo elemento, y solo uno, que pertenece al conjunto B al cual se le asocia o corresponde.
Para simbolizar que se ha establecido una función f, de un conjunto A en un conjunto B, se usa la siguiente notación:
f : A → B
EJEMPLOS DE FUNCIONES
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:
1 ——–> 1
2 ——–> 4
3 ——–> 9
4 ——–> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces “elevar al cuadrado”:
1 ——–> 1
2 ——–> 4
3 ——–> 9
4 ——–> 16
x ——–> x2.
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla “elevar al cuadrado el número”.
Usualmente se emplean dos notaciones:
x ——–> x2 o f(x) = x2 .
Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.
Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.
Ejemplo 1
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Conjunto X
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Conjunto Y
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Ángela
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55
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Pedro
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88
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Manuel
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62
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Adrián
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88
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Roberto
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90
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Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.
Ejemplo 2
x ——-> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
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Conjunto X
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Conjunto Y
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Desarrollo
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− 2
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− 1
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f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
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− 1
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1
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f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1
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0
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3
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f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3
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1
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5
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f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5
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2
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7
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f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
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3
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9
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f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9
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4
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11
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f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11
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Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento enX sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.
Ahora podemos enunciar una definición más formal:
Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).
Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.
Usualmente X e Y son conjuntos de números.
Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota
f : A —–> B (o, usando X por A e Y por B f : X —–> Y) o f(x) = x
Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada.
f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x).
En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5.
El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.
Ejemplo 3
Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es “asignar a cada elemento su cuádruplo”.Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido.
Veamos:
A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).
Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12}
Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}
Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:
Si tenemos los conjuntos
A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}
Podemos establecer las relaciones
f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }
g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }
h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:
Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).
Ejemplo 4
Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9}, Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es ” asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada”.
Veamos:A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.
), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.Dominio y rango de una función
En cambio, la función
tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.En el caso de la función
, el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada.En resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente:
Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +…+ anxn (donde a0, a1, a2,…, an son constantes y nun entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.
El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.
Ejemplo.
Identificar dominio y rango de la función
Veamos:
Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2.
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