Tabla de contenidos DA CLICK EN CADA TEMA.
- Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas | CALCULO VECTORIAL.
- Ecuación paramétrica de la línea recta.
- Curvas planas.
- Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación gráfica.
- Derivada de una función dada paramétricamente.
- Coordenadas polares.
- Graficación de curvas planas en coordenadas polares.
Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas | CALCULO VECTORIAL.
Ecuación paramétrica de la línea recta.
Seguimos ahora con la ecuación paramétrica de la recta. Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas | CALCULO VECTORIAL.
Esta ecuación se calcula a partir de la ecuación vectorial:
En primer lugar, multiplicamos el número t por las coordenadas del vector:
Ahora sumamos ambos vectores, las coordenadas x de los vectores por un lado y las coordenadas «y» por el otro, expresándolas en un sólo vector:
Llegados a este punto, podemos escribir en una ecuación la coordenada x y en otra ecuación la coordenada «y» del vector obtenido anteriormente, obteniendo las ecuaciones paramétricas de una recta:
Donde X0 e Y0 cooresponden a las coordenadas del punto por donde pasa la recta y a y b a las coordenadas de su vector de dirección:
Ejemplo de como calcular las ecuaciones paramétricas de una recta:
Hallar las ecuaciones paramétiricas de la recta que pasa por el punto P0 (2,-3) y cuyo vector de dirección es v=(1,5).
Para calcular las ecuaciones paramétricas, antes debemos calcular la ecuación vectorial, que ya la tenemos calculada del ejemplo anterior:
Ahora multiplicamos la t por las coordenadas del vector:
Y sumamos las coordenadas de ambos vectores, expresándolas en un sólo vector:
Finalmente, escribimos la ecuación de la coordenada x por un lado y la ecuación de la coordenada «y» por el otro, llegando a las ecuaciones paramétricas.
Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas | CALCULO VECTORIAL.
Curvas planas.
Una curva plana es aquella que reside en un solo plano y puede ser abierta o cerrada. La representación gráfica de una función real de una variable real es una curva plana.
Una curva geométrica mente hablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de puntos que representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el término curva por oposición a recta o línea poligonal, habría que excluir de esta noción los casos de, aquellas líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave, es decir, sin formar ángulos. Esto las distingue de las líneas rectas y de las quebradas. Estarían fuera de esta noción los casos de movimiento rectilíneo.
Sin embargo, utilizando la definición matemática, una línea recta es un caso.
particular de curva.
Curva:
Es el caso límite de poligonal en que los saltos discretos de los segmentos son infinitesimales. También en este caso se dice curva plana, también llamada de simple curvatura por el ángulo de contingencia, si tiene todos sus puntos en un mismo plano; y curva alabeada, llamada de doble curvatura por los dos ángulos el de contingencia y el de torsión, en caso que todos sus puntos no estén en un mismo plano.
A continuación.
Se van a definir las principales características de las curvas planas. La recta secante de una curva es la que une dos puntos de la curva separados una distancia finita. El orden de una curva es el número máximo de puntos de corte con una secante. En la figura se muestra una curva de 4° orden.
La recta tangente a una curva en un punto es el límite a que tiende la secante cuando los dos puntos de corte tienden a confundirse. De esta forma la tangente puede ser de primera especie cuando el punto de tangencia está quieto y el otro se aproxima al primero, de segunda especie cuando los dos puntos se aproximan simultáneamente hacia el de tangencia.
La clase de una curva es el número máximo de tangentes que se pueden trazar desde un punto exterior. Por ejemplo, la circunferencia es una curva de clase dos.
La recta normal a una curva es la perpendicular a la tangente por el punto de tangencia. Según esta definición por un punto de la curva existirán infinitas normales. Para las curvas planas la más importante de estas normales es la coplanaria con la curva, que es la normal principal.
Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas | CALCULO VECTORIAL.
Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación gráfica.
Circunferencia
Sea la circunferencia de centro en O y radio a. sean además M(x,y) un punto de la curva y Θ=ángXOM.
Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la circunferencia:
𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 𝑦 = 𝑎 sin 𝜃
Cicloide
Es la curvatura descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, a lo largo de una recta fija. Tomese al eje x como la recta fija OX sobre la cual se hace rodar la circunferencia de centro C y radio r, y sea M el punto fijo que describe la curva.
En el momento en que comienza a rodar la circunferencia, el punto M coincide en el origen con T, punto de contacto de la circunferencia con OX. Cuando M y T lleguen a A, cada punto habrá hecho un recorrido igual a 2πr, es decir, en todo instante genérico, la distancia OT es igual al arco TM. Teniendo presente que cuando la medida del ángulo se da en radianes, el arco es igual al radio multiplicado por el número que mide el ángulo, se puede escribir:
𝑥 = 𝑂𝑃 = 𝑂𝑇 − 𝑀𝑁 = r 𝜃 − 𝑟 sin 𝜃 ;
𝑦 = 𝑃𝑀 = 𝑇𝐶 − 𝑁𝐶 = 𝑟 − 𝑟 cos 𝜃 ;
𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑥 = 𝑟 ( 𝜃 − 𝑟 sin 𝜃);
𝑦 = 𝑟 1 − cos 𝜃 ;
que son las ecuaciones paramétricas de la cicloide.
Hipocloide.
Es la curvatura que describe un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, permaneciendo siempre tangente interiormente a otra circunferencia fija.
Sean a el radio de la circunferencia fija de centro O, b el radio de la circunferencia menor, de centro O´, que rueda, permaneciendo siempre tangente a la circunferencia mayor, M el punto fijo de la circunferencia menor que describe la hipocicloide, y T el punto de tangencia. En A coinciden M y T. cuando M haya descrito la arcada AB; habrá girado 360°, y el punto T habrá recorrido el arco AB; o sea: arco AB=2πb.
Conviene expresar el ángulo φ en función de Θ para que figure un parámetro solamente.
Astroide.
Si los radios de las circunferencias que intervienen en la generación de la hipocicloide son inconmensurables, la curva no vuelve a pasar por el punto inicial A. Pero, si los radios a y b son conmensurables, resulta una curva cerrada.
En el caso particular de b=(1/4)a, se obtiene una curva llamada astroide. Las ecuaciones paramétricas de esta curva se deducen de las de la hipocicloide, sustituyendo b por (1/4)a y después reduciendo queda:
𝑥 = 𝑎 cos3 𝜃 ;
𝑦 = 𝑎 sen3 𝜃.
Que son las ecuaciones paramétricas de la astroide
Derivada de una función dada paramétricamente.
Si una curva suave C está dada por la ecuaciones x=f(t) y y=g(t), entonces la pendiente de
C en (x,y) es:
Esto se da ya que cumple con el teorema que proporciona las condiciones necesarias para
obtener la derivada de una función dada en forma paramétrica:
Derivadas de orden superior para una función dad en forma paramétrica
Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas | CALCULO VECTORIAL.
Coordenadas polares.
Para encontrar las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas polares, considere la figura 8.3_1. El punto P tiene coordenadas cartesianas (x, y). El segmento de recta que conecta el origen con el punto P mide la distancia desde el origen hasta P y tiene una longitud r. El ángulo entre el eje x positivo y el segmento de recta mide θ.
Esta observación sugiere una correspondencia natural entre el par de coordenadas (x, y) y los valores r y θ. Esta correspondencia es la base del sistema de coordenadas polares. Tenga en cuenta que cada punto en el plano cartesiano tiene dos valores (de ahí el término par ordenado) asociados. En el sistema de coordenadas polares, cada punto también tiene dos valores asociados: r y θ.
Un punto arbitrario en el plano cartesiano
Usando trigonometría de triángulo rectángulo, las siguientes ecuaciones son verdaderas para el punto P:
cosθ = x/r entonces x = rcosθ
senθ = y/r entonces y = rsenθ.
Además,
r² = x² + y² y tanθ = y/x.
Por tanto, cada punto (x, y) del sistema de coordenadas cartesiano se puede representar como un par ordenado (r, θ) en el sistema de coordenadas polares. La primera coordenada se llama coordenada radial y la segunda coordenada se llama coordenada angular. Cada punto del plano se puede representar de esta forma.
Tenga en cuenta que la ecuación tanθ = y/x tiene un número infinito de soluciones para cualquier par ordenado (x, y). Sin embargo, si restringimos las soluciones a valores entre 0 y 2π, podemos asignar una solución única al cuadrante en el que se encuentra el punto original (x, y). Entonces el valor correspondiente de r es positivo, entonces r² = x² + y².
Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas | CALCULO VECTORIAL.
Graficación de curvas planas en coordenadas polares.
ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS
Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de
cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se
forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos.
La función para este gráfico es:
ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS
Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de
tres pétalos. Analógicamente al gráfico
de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es
parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su
forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:
ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS
El siguiente gráfico es como los dos anteriores,
pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en
la siguiente función graficada:
UNA ROSA DENTRO DE OTRA
Un caso interesante y especial que se puede dar es el
que se muestra en la gráfica que vemos a
continuación, donde se aprecia una rosa de tres
pétalos precisamente dentro de otra rosa de tres
pétalos u hojas. Veamos:
CARDIOIDES
A continuación se presenta el tipo de
gráfico que se denomina cardioide. Para este
ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto
al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que
se distingue una figura como de un corazón,
razón por la cual se llama este gráfico cardioide.
La función que lo ha generado es:
Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode,
se presenta otro gráfico de este tipo pero ahora apunta
hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la
siguiente función:
LIMACONES O CARACOLES
Limaçon viene del latín limax que
significa caracol. El caracol de Pascal, lo
descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la
primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval
en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su
método
para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan
limaçones son las funciones en coordenadas polares con la
forma:
r = 1 + b cos 
Ahora veamos un ejemplo concreto de un
gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol
que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior.
La función para este gráfico es la
siguiente:
Veamos otro gráfico de una función que
tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero
que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia
abajo. Veamos:
Continuando con la gráfica de caracoles o
limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura o
caracol con concavidad. Como podremos observar, este no
tiene lazo, y está dirigido hacia la izquierda. Veamos a
continuación el gráfico que resulta, el cual apunta
hacia la izquierda:
Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con
la diferencia que ahora está dirigido hacia la derecha, de
modo que tenemos un limaçon o caracol con
hendidura o concavidad que está dirigido hacia la
derecha:
Antes de terminar el tema de los
limacoides o caracoles, veamos otro gráfico diferente a
los otros, que es conocido como caracol convexo o
caracol ovalado, el cual está apuntando hacia
arriba, como lo vemos en el gráfico siguiente:
CIRCUNFERENCIA
Esta nueva función nos presenta una forma
conocida por todos y es precisamente la circunferencia, la
cual será formada en el gráfico polar mediante la
siguiente función:
Ahora veamos una nueva gráfica que resulta en una
circunferencia, con la única diferencia que ahora aparece
arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a
diferencia del gráfico anterior, que la circunferencia
aparecía abajo del radio inicial. La
función con su gráfico es esta:
LEMNISCATA
En matemáticas, una leminscata es un
tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en
coordenadas polares:
La representación gráfica de esta
ecuación genera una curva similar a 
. La curva se ha
convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente
utilizada en matemáticas. El símbolo en sí
mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta
función con su respectivo gráfico lo apreciamos a
continuación:
Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero
ahora aparece a lo largo del eje x o en sentido
horizontal:
Finalmente se muestra un gráfico
como los dos anteriores, donde aparece una lemniscata, con
la única diferencia que ahora se muestra en sentido
vertical. Veamos:
LA NEFROIDE DE FREETH
Esta es una curva muy reciente si hablamos relativamente
a las demás. Hay curvas polares que tienen varios siglos
de existir, mientras que esta que trataremos en este momento es
bastante reciente, pues fue desarrollada por el matemático
inglés
T.J. Freeth, quien descubrió esta curva en 1879. Un
ejemplo se aprecia en este gráfico:
CONCOIDES DE NICÓMENES
Nicómenes nació sobre el año 280
antes de Cristo en Grecia y
murió en el año 210 a.C. Se sabe muy poco de su
vida pero es famoso por su “Las
líneas de la Concoide”. Veamos un
gráfico en coordenadas polares de la concoide de
Nicómenes:
Veamos un nuevo ejemplo de una concoide de
Nicómenes. La gráfica anterior está hacia la
derecha, mientras que la que se presenta a continuación
tiene una dirección hacia arriba. Veamos:
Un tercer ejemplo de Concoide de Nocómenes lo
tenemos en el gráfico que se muestra a
continuación, donde su forma se ve diferente a los dos
gráficos anteriores de este mismo tipo debido a que se le
está restando un número uno a la función. El
mismo gráfico veríamos si se le estuviera sumando
uno a la función. El gráfico quedará
así:
CISOIDE DE DIOCLES
Esta es una curva muy famosa y útil en el
cálculo. Fue utilizada por un griego llamado Diocles para
resolver el problema de la duplicación del cubo. El
gráfico aparece de esta forma:
PARÁBOLA
Esta figura es muy conocida en el mundo del
Cálculo. Tal como podemos generar funciones de
parábolas en coordenadas cartesianas, lo podemos hacer
también en coordenadas polares. Veamos el
ejemplo:
ESPIRAL
Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal
como su nombre lo indica. La espiral más simple la podemos
encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. La
forma de una espiral la vemos en una serpiente enrollada por
ejemplo.
El gráfico que se presenta a continuación
es también conocido como Espiral de Arquímedes, precisamente en honor
Arquímedes, quien fue un notable físico y
matemático griego que al ser fascinado por la belleza de
esta curva, realizó un estudio profundo sobre sus
propiedades matemáticas en su escrito titulado Sobre
las espirales, escrito en el siglo III antes de
Cristo.
Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos
la siguiente función en coordenadas polares que
formará la espiral polar siguiente:
Veamos ahora otra gráfica espiral conocida como
espiral de Fermat, pues fue examinada por Fermat en 1936.
Su ecuación es r² = a² +. En el siguiente ejemplo se
muestra una función y su respectiva gráfica que nos
permiten conocer la espiral de Fertat:
Un segundo gráfico espiral lo tenemos en la
función que veremos ahora, que podríamos
encontrarla con dos nombres refiriéndose al mismo
gráfico. Ambos nombres equivalen a lo mismo como podremos
apreciar . Dichos nombres con los que se conoce a esta espiral
son: espiral recíproca o espiral
hiperbolica. Tendremos entonces:
Otro caso que se puede dar es la espiral
logarítmica, que se ilustra mediante la siguiente
función y su respectivo gráfico:
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