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CALCULO VECTORIAL | Álgebra de Vectores.

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Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación geométrica.

1.¿Qué es un vector en el plano R2?.

Los vectores en R2 son aquellos que están ubicados en un plano cartesiano de ejes X e Y. Un vector es aquel que tiene un inicio (X0; Y0) y un fin (X1; Y1), lo cual, que determina su sentido en el plano. Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.

2.¿Qué es un vector en R3?

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z). Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. CALCULO VECTORIAL | Álgebra de Vectores.

Introducción a los campos escalares y vectoriales.

La geometría de las operaciones vectoriales.

Las operaciones que se pueden hacer con los vectores son: suma, resta, multiplicación y división escalar y

el producto escalar y vectorial. La suma y la resta son operaciones que toman vectores y dan como un resultado otro vector.

La multiplicación y división con escalares, toman un escalar y un vector y dan como resultado un vector. El producto escalar toma dos vectores y da un escalar. El producto vectorial toma 2 vectores y da otro vector. Usaremos los siguientes vectores “a” y “b” para explicar la geometría de las operaciones.

Suma y Resta

Para hacer una suma o resta existen 2 métodos: el del paralelogramo y el del triangulo.

Método del Paralelogramo

Para el método del paralelogramo se juntan las 2 colas de los vectores y se completa el paralelogramo proyectando los vectores originales paralelos a ellos mismos. Después forma un nuevo vector de donde se juntan las colas de los vectores originales hasta donde se juntan las cabezas de sus proyecciones.

Usando la imagen de arriba, los vectores para sumar son el “a” (rojo) y el “b” (azul). Así que se juntan sus colas y se proyectan paralelamente para formar los otros 2 vectores negros con lineas punteadas. Se hace el nuevo vector resultante “c” de las colas de los vectores originales a las cabezas de las proyecciones.

Método del Triangulo

El otro método es el del triangulo. Este es el método que generalmente uso ya que la mayoría de las veces es mas rápido y fácil de ver que esta pasando, y cuando se suman mas de 2 vectores a la vez es mas eficiente. Para hacerlo de este modo se toma cualquiera de los 2 vectores y la cola del segundo vector se acomoda en la cabeza del primer vector. No importa el orden ya que dan el mismo resultado.

Como se puede ver en las imágenes, no importa si primero empezamos con el vector “a” o el “b” el vector “c” sigue siendo el mismo, con la misma dirección, sentido y magnitud.

En forma escrita la suma de dos vectores se ve algo así:

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$

Para la resta se hace lo mismo que la suma excepto que el vector que esta siendo restado se invierte, de tal manera que la cabeza apunte donde antes era la cola. Así que si tenemos esto:

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{c}$

Se puede ver así gráficamente:

Multiplicación y División escalar

La multiplicación y división escalar son cuando un vector se multiplica por un escalar. Si un vector es multiplicado por 2 lo que pasa es que la magnitud de ese vector se hace 2 veces tan grande como era antes. Si se multiplica por 1/2, es como si fuera dividido entre 2, y su magnitud se hace la mitad de lo que era originalmente. Si se multiplica por un numero negativo, se invierte el sentido y su magnitud es aumentada o disminuida dependiendo del numero. Para ver esto gráficamente, analicemos la siguiente imagen.

Aquí el vector original es “a” y se ve como su magnitud (longitud) es aumentada o disminuida, dependiendo que se le multiplica. También vemos como su sentido se invierte cuando se multiplica por un -1 y un -2, la diferencia siendo que con el factor de -2 aparte de invertirse, su magnitud es la doble.

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Operaciones con vectores y sus propiedades.

En principio, podemos considerar un vector como un segmento orientado con inicio y extremo. De esta forma podemos, en un vector, distinguir cuatro partes fundamentales: punto de aplicación, magnitud, dirección y sentido.

El punto de aplicación es el punto en el que actúa el vector. La magnitud es la longitud del segmento orientado que es proporcional a la medida que representa. Si un ciclista se desplaza a 12 mph y otro a 24 mph, el vector que representa al segundo ciclista tendrá una longitud doble que la del primero.

La dirección de un vector es la recta que lo contiene o cualquiera de sus paralelas. Una recta horizontal puede recorrerse de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, por lo que tiene dos sentidos. Dada una dirección, el sentido del vector es el indicado por la flecha en la que termina.

Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud, la misma dirección y el mismo sentido. Los vectores libres son independientes del lugar en que se encuentran.

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Suma de Vectores Gráficamente

Existen dos métodos para sumar vectores gráficamente, estos son: la regla del paralelogramo y la regla del polígono.

Regla del paralelogramo

Para sumar de forma gráfica dos vectores por la regla del paralelogramo se comienza dibujando los dos vectores con un mismo punto inicial. Luego se traza una recta comenzando en el punto final de un vector paralela al otro vector. Se repite, cambiando los vectores. Finalmente se une el punto inicial con el punto de intersección de las dos rectas paralelas formando el vector suma.

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Regla del polígono

Para sumar dos o más vectores con la regla del polígono comenzamos dibujando el primer vector, luego comenzado en el extremo de este vector se dibuja el próximo vector, seguimos hasta colocar todos los vectores a sumar. Finalmente se une el punto inicial del primer vector con el punto extremo del último vector, este forma el vector suma o resultante.

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Producto Vector y Escalar

Se llama producto de un vector V por un número k, al vector que tiene

1.La misma dirección del vector V.

2.La magnitud es igual al producto de k por la magnitud del vector V. El sentido depende del signo de k

a.Si k es positivo tiene el mismo sentido que el vector V.

b.Si k es negativo tiene el sentido opuesto del vector V.

Propiedades de los Vectores

Como toda operación, la suma de vectores tiene unas propiedades que facilitan su realización. Estas son la propiedad conmutativa, propiedad asociativa, la propiedad distributiva y el inverso aditivo.

1.La propiedad conmutativa

1.Es la propiedad donde el orden de los sumandos no altera la suma. Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, A+B = B+A.

2.La propiedad asociativa

2.Es la propiedad donde la forma de agrupar los vectores no altera la resultante (la suma). Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, (A+B)+C = A+(B+C).

3.La propiedad distributiva

3.Es la propiedad que relaciona la multiplicación y la suma. Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, k(A+B) = kA+kB.

4.La propiedad del inverso aditivo

4.Es la propiedad donde la suma de un vector y su vector opuesto es cero. Sean A y -A dos vectores cualesquiera entonces, A+(-A) = 0.

Vector Estándar

Aquel vector que tiene su punto inicial en el origen de un sistema de coordenadas es un vector estándar. El vector estándar de un vector V con punto inicial en (x₁, y₁) y punto extremo en (x₂, y₂) esta dado por:

V=<x₂-x₁, y₂– y₁>

V=<x,y>

La magnitud o longitud de un vector estándar V es

‖V‖=√(x²+y²)

Descomposición vectorial en 3 dimensiones.

La técnica de bifurcación de un vector en sus componentes en las tres dimensiones es denominada descomposición de vectores en tres dimensiones.

Estos componentes actúan en sus respectivas direcciones.

El componente-X.

Es el componente en el eje X, y el componente-Y es el componente a lo largo del eje Y, y el componente-Z es el componente en el eje z.

La noción de suma vectorial y la descomposición del vector están ligadas una con la otra.

De acuerdo con la ley del triángulo del vector, “Si dos lados de un triángulo son representados por dos vectores continuos y , entonces el tercer lado del triángulo que está en la dirección opuesta es el resultante de los dos vectores”.

Inversamente, puede afirmarse que un vector puede ser representado como la suma de otros dos vectores O más en general, podemos concluir que un vector puede ser considerado como el equivalente de la sumatoria de dos vectores.

Esta idea fue la base de la descomposición de vectores.

Por encima se muestran los fundamentos de los vectores del sistema de coordenadas Cartesiano.

Estos son vectores perpendiculares entre sí, cada uno en una dirección de los tres espacios dimensionales.

Ecuaciones de rectas y planos.

Rectas

Cuando hablamos de una recta en el espacio tridimensional sabemos que queda determinada por un punto en ella A(x,y,z) y por su vector director u=(a,b,c).

La ecuación vectorial de una recta es (x,y,z)=(x1,y1,z1)+ t(a,b,c), esto nos lleva a las ecuaciones paramétricas, las cuales está basadas en la variable “t”.

Esta variable denota el parámetro de la recta. Las ecuaciones paramétricas de la recta se dan desarrollando la ecuación vectorial (x,y,z)=(x1+ta,y1+tb,z1+tc), despues de haber desarrollado se igualan coordenadas y llegamos a las ecuaciones:

x=x1+ta

y=y1+tb

z=z1+tc

Unas vez obtenidas las ecuaciones paramétricas , con ellas se puede llegar a las ecuaciones simetricas de un modo muy sencillo solo despejas t de cada ecuación entonces te quedan algo asi:

(x-x1)/a=(y-y1)/b=(z-z1)/c

Ejemplo:

Proporcione las ecuaciones paramétricas de la linea recta que pasa por el punto (2,1,0) y es paralela al vector 2i-j-1/2k

R= se toma al punto y se iguala a los ejes.

x=2

y=1

z=0

Después se le agregan con sus respectivos signos los componentes del vector multiplicados por t y ese es el resultado final.

x=2+ 2t

y=1-t

z=0+(1/2)t

Planos:

Para poder calcular la ecuación de un plano en un espacio 3D se necesita de un punto A(x,y,z) y un par de vectores que tengan diferentes direcciones.

Esto nos lleva a a sacar la distancia entre dos puntos lo que nos da AB, y ese vector debe de ser coplanario a los otro dos vectores y se expresa como : (u y v son los otros dos vectores)

(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(u1,u2,u3)+t(v1,v2,v3)

De esta ecuación se puede sacar las ecuaciones paramétricas, solo despejas los términos iguales y te da:

x=x1+t u1+t v1

y=y1+t u2 + t v2

z=z1+t u3+ t v3

A través de varios cálculos de matrices, desde las ecuaciones paramétricas del plano se llega a la ecuación general del plano el cual es:

a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0, esta misma ecuación se puede obtener de un modo mas sencillo solo es la distancia entre dos puntos AB. Esta distancia hace el producto punto con el vector normal del punto A.

En ciertas ocasiones se te pedirá sacar el ángulo entre dos vectores, es muy fácil de sacar cuando se tiene la formula la cual es la siguiente:

cosα=(v1∙v2)/|v1||v2|

Aplicaciones físicas y geométricas.

Una fuerza tiene una magnitud y dirección. Si 2 fuerzas u y v actúan sobre un punto, la fuerza resultante sobre el punto, es la suma vectorial de las 2 fuerzas.

Ejemplo:

Un peso de 200 newtons es soportado por 2 cables, uno a 33 Grad. Y otro a 50 Grad.

Determine la magnitud de la tensión en cada cable.El peso w y las 2 tensiones u y v son fuerzas que se comportan como vectores. Cada uno de estos vectores se puede expresar como la suma de un componente horizontal y otro vertical.

Para alcanzar el equilibrio, (1) la magnitud de la fuerza izquierda debe ser igual ala magnitud de la fuerza derecha y (2) la magnitud de fuerza hacia arriba debe ser igual ala magnitud de fuerza hacia abajo.

Ejemplo

(1) |u| cos 33 = |v| cos 50

(2) |u| sen 33 + |v| sen 50 = |w| = 200

Al despejar v en (1) y sustituir en (2), obtenemos|u| = 200/sen 33 + (cos 33)(tan 50) = 129.52 newtons entonces |v| = 129.52 cos 33 / cos 50 = 168.99 newtons.

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Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación geométrica.

Introducción a los campos escalares y vectoriales.

La geometría de las operaciones vectoriales.

Suma y Resta

Método del Paralelogramo

Método del Triangulo

Multiplicación y División escalar

Operaciones con vectores y sus propiedades.

Suma de Vectores Gráficamente

Regla del polígono

Producto Vector y Escalar

Propiedades de los Vectores

1.La propiedad conmutativa

2.La propiedad asociativa

3.La propiedad distributiva

4.La propiedad del inverso aditivo

Vector Estándar

Descomposición vectorial en 3 dimensiones.

El componente-X.

Ecuaciones de rectas y planos.

Rectas

Ejemplo:

Planos:

Aplicaciones físicas y geométricas.

Ejemplo:

Ejemplo

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