PRODUCTOS NOTABLES II

PRODUCTOS NOTABLES II

5. Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a-b-c)

En este caso se realiza lo siguiente:

  • los términos negativos del trinomio se agrupan en paréntesis con el signo negativo delante, por lo que estos términos negativos pasan a ser positivos.
  • Luego en el trinomio de las sumas se agrupan los mismos términos.

Esto queda de la siguiente forma:

negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita menos negrita c negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho negrita igual negrita corchete izquierdo negrita a negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho negrita corchete izquierdo negrita a negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho

Ahora se puede desarrollar como un producto de la suma por la resta de dos cantidades:

negrita corchete izquierdo negrita a negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho negrita corchete izquierdo negrita a negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita b elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita bc negrita más negrita c elevado a negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita b elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita bc negrita menos negrita c elevado a negrita 2

Ejemplos de multiplicación de trinomios con números negativos

1) Desarrolle (x+y+z)(x-y-z).

negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita y negrita más negrita z negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita y negrita menos negrita z negrita paréntesis derecho negrita igual negrita corchete izquierdo negrita x negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita y negrita más negrita z negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho negrita corchete izquierdo negrita x negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita y negrita más negrita z negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita y negrita más negrita z negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita y elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita yz negrita más negrita z elevado a negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita y elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita yz negrita menos negrita z elevado a negrita 2

2) Desarrolle (x3-x2-x)(x3+x2+x).

abrir paréntesis negrita x elevado a negrita 3 negrita menos negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita x cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x elevado a negrita 3 negrita más negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita x cerrar paréntesis negrita igual negrita corchete izquierdo negrita x elevado a negrita 3 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita x negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho negrita corchete izquierdo negrita x elevado a negrita 3 negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita x negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 6 negrita menos abrir paréntesis negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita x cerrar paréntesis elevado a negrita 2 negrita igual negrita x elevado a negrita 6 negrita menos abrir paréntesis negrita x elevado a negrita 4 negrita más negrita 2 negrita x elevado a negrita 3 negrita más negrita x elevado a negrita 2 cerrar paréntesis negrita igual negrita x elevado a negrita 6 negrita menos negrita x elevado a negrita 4 negrita menos negrita 2 negrita x elevado a negrita 3 negrita menos negrita x elevado a negrita 2

6. Cubo de la suma de dos cantidades

negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho elevado a negrita 3

En el cubo de un binomio tenemos lo siguiente:

abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 3 negrita igual abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis negrita igual abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 2 abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis

Podemos desarrollar el cuadrado de la suma y luego multiplicarlo por (a+b):

abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 2 abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis negrita igual abrir paréntesis negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita ab negrita más negrita b elevado a negrita 2 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis negrita igual negrita a elevado a negrita 3 negrita más negrita 2 negrita a elevado a negrita 2 negrita b negrita más negrita ab elevado a negrita 2 negrita más negrita a elevado a negrita 2 negrita b negrita más negrita 2 negrita ab elevado a negrita 2 negrita más negrita b elevado a negrita 3 negrita igual negrita a elevado a negrita 3 negrita más negrita 3 negrita a elevado a negrita 2 negrita b negrita más negrita 3 negrita ab elevado a negrita 2 negrita más negrita b elevado a negrita 3

Regla del cubo de la suma de un binomio

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, más 3 seguido del cuadrado del primero por el segundo, más 3 seguido del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Ejemplos con solución paso a paso

1) Desarrolle (a+2)3.

  • Cubo del primer término: a3.
  • Triple del cuadrado del primero por el segundo: 3a22=6a2.
  • Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(a)(2)2=12a.
  • Cubo del segundo término: 23=8.

Respuesta:

abrir paréntesis negrita a negrita más negrita 2 cerrar paréntesis elevado a negrita 3 negrita igual negrita a elevado a negrita 3 negrita más negrita 6 negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 12 negrita a negrita más negrita 8

2) Desarrolle (3+y2)3.

  • Cubo del primer término: 33=27.
  • Triple del cuadrado del primero por el segundo: 3(3)2y2=27y2.
  • Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(3)(y2)2=9y4.
  • Cubo del segundo término: (y2)3=y6.

Respuesta:

abrir paréntesis negrita 3 negrita más negrita y elevado a negrita 2 cerrar paréntesis elevado a negrita 3 negrita igual negrita 27 negrita más negrita 27 negrita y elevado a negrita 2 negrita más negrita 9 negrita y elevado a negrita 2 negrita más negrita y elevado a negrita 6

7. Cubo de la resta de dos cantidades

abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 3

En el cubo de un binomio con una resta tenemos lo siguiente:

abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 3 negrita igual abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis negrita igual abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 2 abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis

Podemos desarrollar el cuadrado de la resta y luego multiplicarlo por (a-b):

abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 2 abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis negrita igual abrir paréntesis negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita ab negrita más negrita b elevado a negrita 2 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis negrita igual negrita a elevado a negrita 3 negrita menos negrita 2 negrita a elevado a negrita 2 negrita b negrita más negrita ab elevado a negrita 2 negrita menos negrita a elevado a negrita 2 negrita b negrita más negrita 2 negrita ab elevado a negrita 2 negrita menos negrita b elevado a negrita 3 negrita igual negrita a elevado a negrita 3 negrita menos negrita 3 negrita a elevado a negrita 2 negrita b negrita más negrita 3 negrita ab elevado a negrita 2 negrita menos negrita b elevado a negrita 3

Regla del cubo de la resta de un binomio

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo del primer término, menos el triple del cuadrado de la primera por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

Ejemplos con soluciones paso a paso

1) Desarrolle (x-2)3.

  • Cubo del primer término: x3.
  • Menos el triple del cuadrado del primero por el segundo: -3(x)22=-6x2.
  • Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(x)(22)=12x.
  • Menos el cubo del segundo término: -(23)=-8.

Respuesta:

abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 2 cerrar paréntesis elevado a negrita 3 negrita igual negrita x elevado a negrita 3 negrita menos negrita 6 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 12 negrita x negrita menos negrita 8

2) Desarrolle (a2-2b)3.

  • Cubo del primer término: (a2)3=a6.
  • Menos el triple del cuadrado del primero por el segundo: -3(a2)2(2b)=-6a4b.
  • Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(a2)(2b)2=12a2b2.
  • Menos el cubo del segundo término: -(2b)3=-8b3.

Respuesta:

abrir paréntesis negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 3 negrita igual negrita a elevado a negrita 6 negrita menos negrita 6 negrita a elevado a negrita 4 negrita b negrita más negrita 12 negrita a elevado a negrita 2 negrita b elevado a negrita 2 negrita menos negrita 8 negrita b elevado a negrita 3

8. Producto de dos binomios con tres cantidades diferentes

abrir paréntesis negrita x negrita más negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita b cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita b cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita b cerrar paréntesis

Primer caso

abrir paréntesis negrita x negrita más negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita b cerrar paréntesis negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita x negrita más negrita ab

Segundo caso

abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita b cerrar paréntesis negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho abrir paréntesis negrita x cerrar paréntesis negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita x negrita más negrita ab

Tercer caso

abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita b cerrar paréntesis negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho abrir paréntesis negrita x cerrar paréntesis negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita x negrita menos negrita ab

Regla del producto de dos binomios con tres cantidades diferentes

El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios; en el segundo término del producto, el coeficiente es la suma o resta de los segundos términos de cada binomio y la x está elevada a la mitad del exponente que tiene la x en el primer término; el tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.

Ejemplos con solución paso a paso

1) Desarrolle (x+7)(x+2).

  • Producto de los primeros términos de los binomios: (x)(x)=x2.
  • Suma de los segundos términos por el primer término: (7+2)x=9x.
  • Producto de los segundos términos de los binomios: (7)(2)=14.

Respuesta:

abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 7 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 2 cerrar paréntesis negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 9 negrita x negrita más negrita 14

2) Desarrolle (x+5)(x-2).

  • Producto de los primeros términos de los binomios: (x)(x)=x2.
  • Suma de los segundos términos por el primer término: [(5)+(-2)]x=3x.
  • Producto de los segundos términos de los binomios: (5)(-2)=-10.

abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 5 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 2 cerrar paréntesis negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 3 negrita x negrita menos negrita 10

3) Desarrolle (x-10)(x-5).

  • Producto de los primeros términos de los binomios: (x2)(x)=x3.
  • Suma de los segundos términos por el primer término: [(-10)+(-5)]x=-15x.
  • Producto delos segundos términos de los binomios: (-10)(-5)=50.

Respuesta:

abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 10 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 5 cerrar paréntesis negrita igual negrita x negrita menos negrita 15 negrita x negrita más negrita 50


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Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a-b-c) En este caso se realiza lo siguiente: los términos negativos del trinomio se agrupan en paréntesis con el signo negativo delante, por lo que estos términos negativos pasan a ser positivos. Luego en el trinomio de las sumas se agrupan los mismos términos. Esto queda de la siguiente forma:
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